平面的法向量怎么算?

Question

如题所述

Answer 1

1. 平面法向量的求法是通过已知的平面上的一个点和一个非零向量来确定的。
2. 设平面通过点M0(x1, y1, z1)，并且垂直于向量n=(A, B, C)，则平面的方程可以表示为：
A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0
3. 当平面方程中的常数项D=0时，方程简化为Ax + By + Cz = 0，这意味着平面通过原点(0, 0, 0)。
4. 将原点代入点法式方程，我们得到A=1, B=1, C=1，因此法向量n=(1, 1, 1)。
5. 法向量在几何中的用途包括：
- 求斜线与平面所成的角：通过计算平面法向量和斜线方向的向量的夹角，这个角与斜线与平面的夹角互为余角。
- 求二面角：通过计算两个平面的法向量所成的角，这个角等于或补于二面角。
- 点到平面的距离：通过计算从点到平面上的任意一点的向量在法向量方向上的投影长度。
6. 例如，点B到平面α的距离d可以通过公式计算：
d = |BD·n| / |n|
其中，BD是从点B到平面α内任意一点D的向量，n是平面α的法向量。
7. 利用法向量，我们也可以求解异面直线之间的距离。