Φ(x)=∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (-∞,x)
而标准正态分布函数的积分区间取(-∞,+∞)时,函数值为1
即∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (-∞,+∞) =1
又由函数对称性有
∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (0,+∞) =1/2
∫[e^(-t²/2)]dt (0,+∞)=[√(2π)]/2
∫[e^(-t²/2)]dt (0,+∞)=√π/√2
两边同乘1/√2
∫[e^(-t²/2)]d(t/√2) (0,+∞)=√π/2
最后换元 令 r=t/√2
原式
=∫e^(-r²)dr (0,+∞)=√π/ 2
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