级数sinn收敛还是发散？

Question

sin级数敛散性，为什么？

Answer 1

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 是发散的。

这可以通过狄利克雷判别法（Dirichlet's test）来证明。设 $a_n = \sin n$，$b_n = \frac{1}{n}$，则有：

$a_n$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，且在 $[0, 2\pi]$ 区间单调递减，$|a_n| \leqslant 1$；

${b_n}$ 单调趋于零，并且 $\left|\sum_{k=1}^{n} b_k\right| =\left|\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right| \leqslant \ln(n)+1$，即 ${b_n}$ 的部分和有界。

因此，根据狄利克雷判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sin n \cdot \frac{1}{n}$ 收敛。但是，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 不满足调和级数的收敛条件，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 发散。

Answer 2

级数Sinn = ∑(n=1 to ∞) sin(n) 中，sin(n) 是 n 的正弦值，这是一个无界的函数。在这种情况下，级数 Sinn 会发散。

要证明级数 Sinn 发散，可以使用 Dirichlet 判别法或 Abel 判别法。这里我们以 Dirichlet 判别法为例：

设 a_n=sin n，b_n=1/n，则有：
∑(n=1 to N) a_n=sin1+sin2+...+sinN
∑(n=1 to N) b_n=1/1+1/2+...+1/N

由于 b_n 满足单调递减并趋于 0，a_n 满足高斯型振荡，且 ∑(n=1 to N) b_n 在 N 趋近于无穷时有上界（即古典调和级数），所以根据 Dirichlet 判别法，级数 Sinn 是发散的。

因此，级数 Sinn 是一个发散的数列。

Answer 3

sinn 在 [-1,1] 之间震荡

级数sinn收敛还是发散？发散