推理游戏(挑战你的IQ哦)

Question

恐子有12颗包装一模一样的糖果，但是其中11颗是重量完全一样的糖，而另一颗不同，在不能打开包装的情况下，也不知道哪种糖果重，有一个只能称出是否平衡而却没有刻度的天平可以使用，恐子应该怎么做才能在3次称量下，判断出哪颗是不同的糖？

Answer 1

（*：对应十三个糖的情形。）
这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平衡”和“左重”所对应的分支。在树的叶子（就是最右边没有子节点的那些节点）部分，我们标出了“能够到达”这些节点的布局，也就是说在进行每一节点上的称量时，这个布局所给的结果和通往相对应的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合。从这个图我们也可以清楚地看到，根下的左分支和右分支是对称的：只需要把所有的“右”改成“左”，“左”改成“右”，“轻”改成“重”，“重”改成“轻”；节点(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有这个特点。
　　（如果有朋友对树理论感兴趣，可以参考随便哪一本图论或者离散数学的书。在这里我们只用到树理论里最基本的知识，所用的名词和结论都是相当直观的。所以如果你不知道树理论，用不着特别去学也可以看懂这里的论证。）
　　所以给定一棵三分树（就是说除了叶子以外其他的节点都有三个子节点的树），在每个不是叶子的节点上给定一个称量，并且规定这个节点下的三个分支（子树）分别对应右重、平衡、左重的情况，我们就得到了一种称糖的方法。我们把这样一棵三分树称为一个“策略”或一棵“策略树”。你可以给出一个平凡的策略，比如说无论发生了什么事总是把1号和2号糖放在左右两侧来称（在叶子上我们没有写出相应的布局，用@来代替）：

|--右--@A
|--右--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@
(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@B
| |--右--(1; 2)|--平--@
| | |--左--@
| |
| | |--右--@
|--左--(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@
|--左--(1; 2)|--平--@
|--左--@

当然这么个策略没什么用场，只能让我们知道1号糖和2号糖之间的轻重关系。另外我们看到，每个分支不一定一样长，上面这棵策略树根下面左分支就比较长。
　　一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一。比如说上面这个图中，叶子A和根间有1个节点，而叶子B和根间有2个节点，没有和根之间的节点数超过2的叶子。所以它的高度是2+1=3。前面十二糖解法策略树的高度也是3。一棵没有任何分支，只有根节点的树，我们定义它的高度是0。
　　显然，策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数。我们的目的，就是找到一棵“好”的策略树，使得它的高度最小。
　　什么是“好”策略？我们回过头来再看十二糖解法策略树。我们说过，叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的。比如说布局(7重)，它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“右左右”；又比如说布局(11重)，它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“平右平”。如果两个布局通向同一片叶子，那么就是说按照这个策略，三次称量的结果是完全一样的，于是我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来。比如说在十三个糖的情况下，(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子，这两个布局中13号糖或者轻或者重，于是我们知道13号糖一定是A，但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重。
　　所以对于标准的称糖问题（找出A并知其比标准糖重或轻）的“好”策略，就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略。

三、每个糖都已知可能为轻或可能为重的情况
　　先引入一个记号：对于任意实数a，我们用{a}表示大于等于a的最小整数，比如说{2.5}=3，{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整数，比如说[2.5]=2，[4]=4。
　　我们首先考虑这样一种布局的集合。假设m，n为两个非负实数，不同时为0。在编号从1到m+n的m+n个糖中，我们知道1到m号糖要么是标准糖，要么比标准糖重，而m+1到m+n号糖要么是标准糖，要么比标准糖轻；我们还知道其中有一个是A（但不知轻重）。换句话说，我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：
　　1. 1号是A，且较重；
　　2. 2号是A，且较重；
　　……
　　m. m号是A，且较重；
　　m+1. m+1号是A，且较轻；
　　m+2. m+2号是A，且较轻；
　　……
　　m+n. m+n号是A，且较轻。
有一种特殊的情况是m=0或n=0，也就是说A的是轻还是重已经知，常常被用来单独作为智力题。

结论1：
1)在以上条件成立的情况下，要保证在m+n个糖中找出A并知道其轻重，至少需要称{log3(m+n)}次。
2)如果m和n不同时为1，那么称{log3(m+n)}次就足够了。如果m=n=1，并且另有一标准糖，那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1次也足够了。
　　这里log3表示以3为底的对数。
　　需要对2)作点说明。如果m=n=1而没有标准糖的话，那么是永远也称不出A来的。把两个糖一边一个放在天平上，必然是1号重2号轻。但是由于没有标准糖，我们无法知道是A比较重所以1号是坏的，还是A比较轻所以2号是坏的。如果有标准糖，只要把1号糖和标准糖

比较一下。如果天平不平衡，那么1号糖是A，且比较重；如果天平平衡，那么2号糖是A，且比较轻。策略树如下：（用s表示标准糖）

|--右--( )
|
|
(1; s)|--平--(2轻)
|
|
|--左--(1重)

　 现在来证明1)。在上面我们看到，可能的布局是m+n种（1重，2重，……，m重，m+1轻，m+2轻，……，m+n轻）。假设我们已经有一个策略能保证在这m+n个糖中找出A并知道其轻重，那么每一个布局都要通向策略树上的不同叶子，这棵策略树至少需要有m+n片叶子。但是一棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。于是这棵策略树必须满足条件
　　3H ≥ m+n
也就是
　　H ≥ log3(m+n)
考虑到H是整数，我们就证明了
　　H ≥ {log3(m+n)}
　　现在我们要具体找到一棵高度为{log3(m+n)}的策略树，使得m+n种布局通向它的不同叶子。我们对k=m+n使用数学归纳法。
　　首先k=1。那么称都不要称，因为必有一A，那么A就是唯一的1号糖。如果是m=1，n=0，那么1号糖比较重；如果是m=0，n=1，那么1号糖比较轻。需要的称量次数为{log3(1)}=0。
　　对于k=2。m=1，n=1的情况已经讨论过了。考虑m=2，n=0。这时我们知道A比较重。只要把1号糖和2号糖放在天平两边一称，哪个比较重哪个就是A。策略树如下：

Answer 2

将十二个糖编号为1-12。 特别的糖代号为A
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
　　1.如果右重则a在1-8号。
　　　　第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放
　　　　在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
　　　　　　1.如果右重则A在没有被触动的1,5号。如果是1号，
　　　　　　　则它比标准糖轻；如果是5号，则它比标准糖重。
　　　　　　　　第三次将1号放在左边，2号放在右边。
　　　　　　　　　　1.如果右重则1号是A且比标准糖轻；
　　　　　　　　　　2.如果平衡则5号是A且比标准糖重；
　　　　　　　　　　3.这次不可能左重。
　　　　　　2.如果平衡则A在被拿掉的2-4号，且比标准糖轻。
　　　　　　　　第三次将2号放在左边，3号放在右边。
　　　　　　　　　　1.如果右重则2号是坏球且比标准糖轻；
　　　　　　　　　　2.如果平衡则4号是坏球且比标准糖轻；
　　　　　　　　　　3.如果左重则3号是坏球且比标准糖轻。
　　　　　　3.如果左重则A在拿到左边的6-8号，且比标准糖重。
　　　　　　　　第三次将6号放在左边，7号放在右边。
　　　　　　　　　　1.如果右重则7号是A且比标准糖重；
　　　　　　　　　　2.如果平衡则8号是A且比标准糖重；
　　　　　　　　　　3.如果左重则6号是A且比标准糖重。
　　2.如果天平平衡，则A在9-12号。
　　　　第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。
　　　　　　1.如果右重则A在9-11号且坏球较重。
　　　　　　　　第三次将9号放在左边，10号放在右边。
　　　　　　　　　　1.如果右重则10号是A且比标准糖重；
　　　　　　　　　　2.如果平衡则11号是A且比标准糖重；
　　　　　　　　　　3.如果左重则9号是A且比标准糖重。
　　　　　　2.如果平衡则A为12号。
　　　　　　　　第三次将1号放在左边，12号放在右边。
　　　　　　　　　　1.如果右重则12号是A且比标准糖重；
　　　　　　　　　　2.这次不可能平衡；
　　　　　　　　　　3.如果左重则12号是A且比标准糖轻。
　　　　　　3.如果左重则A在9-11号且标准糖较轻。
　　　　　　　　第三次将9号放在左边，10号放在右边。
　　　　　　　　　　1.如果右重则9号是A且比标准糖轻；
　　　　　　　　　　2.如果平衡则11号是A且比标准糖轻；
　　　　　　　　　　3.如果左重则10号是A且比标准糖轻。
　　3.如果左重则A在1-8号。
　　　　第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放
　　　　在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
　　　　　　1.如果右重则A在拿到左边的6-8号，且比标准糖轻。
　　　　　　　　第三次将6号放在左边，7号放在右边。
　　　　　　　　　　1.如果右重则6号是A且比标准糖；
　　　　　　　　　　2.如果平衡则8号是A且比标准糖；
　　　　　　　　　　3.如果左重则7号是A且比标准糖轻。
　　　　　　2.如果平衡则A在被拿掉的2-4号，且比标准糖重。
　　　　　　　　第三次将2号放在左边，3号放在右边。
　　　　　　　　　　1.如果右重则3号是A且比标准糖重；
　　　　　　　　　　2.如果平衡则4号是A且比标准糖重；

Answer 3

先把12颗分成两份，每份6科，放在天平上秤，重的一方表示重的那颗在那边。然后将重的一方再分成两份，每份3颗，重的那颗在重的那一方。再从重的一方取出两颗放在天平的两边，如果平衡表明重的是剩下的那一颗，如果不平衡，表明其中重的就是12颗中最重的一颗了

Answer 4

先6颗和6颗称，重的一边再分成3颗和3颗称，重的一边拿一颗和一颗称，若等重，则剩的那颗就是不同的，若不等重，轻的（重的）那颗是不同的。

Answer 5

也没说特别的一个是比平常的重还是轻 阿