求级数sinnx/n!的敛散性

Question

如题所述

Answer 1

由于sin1/n~1/n，而级数1/n是发散的，由比较判别法的极限形式知级数sin1/n也是发散的。

用泰勒级数展开：

sin(1/n*n)＝(1/n^2)-(1/3!)*(1/n^2)^3+(1/5!)*(1/n^2)^5-...

=(1/n^2)+o(1/n^2)

所以原级数的敛散性与1/n^2相同

由于1/n^2是收敛的，所以原级数也收敛。

在实际的数学研究以及物理、天文等其它学科的应用中，经常会自然地涉及各种发散级数，所以数学家们便试图给这类发散级数客观地指派一个实或复的值，定义为相应级数的和，并在这种意义之下研究所涉及的发散级数。

每一种定义都被称为一个可和法，也被理解为一类级数到实数或复数的一个映射，通常也是一个线性泛函，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法与波莱尔可和法等。

可和法通常保持收敛级数的收敛值，而对某些发散级数，这种可和法和能额外定义出相应级数的和。

以上内容参考来源：百度百科-收敛

以上内容参考来源：百度百科-发散

Answer 2

|sin(nx)|<=1；

|∑（sinnx/n²)|<=∑|sinnx/n²|<=∑1/n²是收敛的；

所以∑（sinnx/n²)是绝对收敛的，当然也是收敛的。

扩展资料

正项级数之外，如果一个级数没有正项，或者只有有限个正项，或者只有有限个负项，则其收敛问题都可以归结到一个正项级数的收敛问题；

所以只需考虑一个级数既有无限个正项又有无限个负项的情形。在这种级数中，结构最简单的是正负号逐项相间的级数，叫做交错级数：

对此有莱布尼茨定理：若一交错级数的项的绝对值单调趋于零，则这级数收敛。

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Answer 3

不能直接说这个是收敛的，只有当x≠2kπ时才是收敛的。
用Dirichlet判别法就可以判断啦~\(≧▽≦)/~本回答被网友采纳