复变函数与积分变换的题，求助

Question

如题所述

Answer 1

Answer 2

在复变函数中，反正切函数也是存在的，而且在一定的范围内解析，证明过程参考这个：http://zhidao.baidu.com/question/651132745930041245
下面就回到正题了。容易看出被积函数的奇点是±i，都不在右半平面，因此被积函数在整个右半平面是解析的，所以积分结果与路径无关。
根据实变函数的知识，我们知道arctan x是1/(1+x²)的一个原函数，而结合上面的链接，也可以证明这个结论可以适当地推广到复变函数之中，当然也要根据复变函数自身的特点而加以限制，例如对数函数Ln u的自变量不能为0，Ln u在负实数轴上不连续、从而不解析等等。因为链接中已经给出了反正切函数的表达式，现在要求这个积分就好办了，直接应用牛顿-莱布尼兹公式即可：
原积分=arctan(z)-arctan(0)，取同一支，即令arctan(0)=0，那么
原积分=arctan(z)=Ln[(1+iz)/(1-iz)]/2i，
由于Ln z=ln|z|+i*arg z+2kπi，
所以积分的实部为
arg [(1+iz)/(1-iz)]/2+kπ，
设z的共轭为g，那么zg=|z|²=1，所以g=1/z，那么

(1+iz)/(1-iz)=(1+iz)(1+ig)/(1-iz)(1+ig)=(1+iz)(1+ig)/|1-iz|²，因为分母必定是实数，所以决定辐角的是分子部分：
arg [(1+iz)/(1-iz)]=arg [(1+iz)(1+ig)]=arg [(1+iz)(1+i/z)]=arg (i(z+1/z))，
设z=e^it，那么
i(z+1/z)=2icos t是纯虚数，因此它的辐角为π/2+nπ，n是整数。
所以原积分的实部为
(π/2+nπ)/2+kπ=π/4+m*π/2，其中m是整数。选取arctan 0=0的一支，得到m=0，因此最后结果为π/4.
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