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设函数f(x)=ax 2 +blnx,其中ab≠0,证明:当ab>0时,函数f(x)没有极值点;当ab<0时,函数f(x)有且只有
设函数f(x)=ax 2 +blnx,其中ab≠0,证明:当ab>0时,函数f(x)没有极值点;当ab<0时,函数f(x)有且只有一个极值点,并求出极值.
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推荐答案 推荐于2016-07-10
证明:因为f(x)=ax
2
+blnx,ab≠0,所以f(x)的定义域为(0,+∞),
,
当ab>0时,如果a>0,b>0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
如果a<0,b<0,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以当ab>0时,函数f(x)没有极值点;
当ab<0时,
,
令f′(x)=0,得
(舍去),
(0,+∞),
当a>0,b<0时,f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
从上表可看出,函数f(x)有且只有一个极小值点,极小值为
;
当a<0,b>0时,f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
从上表可看出,函数f(x)有且只有一个极大值点,极大值为
;
综上所述,当ab>0时,函数f(x)没有极值点;
当ab<0时,若a>0,b<0时,函数f(x)有且只有一个极小值点,极小值为
;
若a<0,b>0时,函数f(x)有且只有一个极大值点,极大值为
。
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...
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