ä¸å
äºæ¬¡æ¹ç¨
人æç9年级æ°å¦ä¸åä¼å¦å°ï¼åæç9年级æ°å¦ä¸å第äºåä¹ç« ä¼å¦å°ã
å®ä¹ï¼å«æä¸ä¸ªæªç¥æ°ï¼å¹¶ä¸æªç¥æ°çæé«æ¬¡æ°æ¯2çæ´å¼æ¹ç¨ï¼è¿æ ·çæ¹ç¨å«åä¸å
äºæ¬¡æ¹ç¨ã
ç±ä¸æ¬¡æ¹ç¨å°äºæ¬¡æ¹ç¨æ¯ä¸ªè´¨ç转åï¼é常æ
åµä¸ï¼äºæ¬¡æ¹ç¨æ 论æ¯å¨æ¦å¿µä¸è¿æ¯è§£æ³ä¸é½æ¯ä¸æ¬¡æ¹ç¨è¦å¤æå¾å¤ã
ä¸è¬å½¢å¼ï¼ax^2+bx+c=0 (aâ 0)
ä¸è¬è§£æ³æåç§ï¼
âå
¬å¼æ³ï¼ç´æ¥å¼å¹³æ¹æ³ï¼
âé
æ¹æ³
âå
¬å¼æ³
âå å¼å解æ³
5.ååç¸ä¹æ³
ååç¸ä¹æ³è½ææäºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解å å¼ãè¿ç§æ¹æ³çå
³é®æ¯æäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°aå解æ两个å æ°a1,a2ç积a1•a2ï¼æ常æ°é¡¹cå解æ两个å æ°c1,c2ç积c1•c2ï¼å¹¶ä½¿a1c2+a2c1æ£å¥½æ¯ä¸æ¬¡é¡¹bï¼é£ä¹å¯ä»¥ç´æ¥åæç»æ:å¨è¿ç¨è¿ç§æ¹æ³å解å å¼æ¶ï¼è¦æ³¨æè§å¯ï¼å°è¯ï¼å¹¶ä½ä¼å®å®è´¨æ¯äºé¡¹å¼ä¹æ³çéè¿ç¨ãå½é¦é¡¹ç³»æ°ä¸æ¯1æ¶ï¼å¾å¾éè¦å¤æ¬¡è¯éªï¼å¡å¿
注æå项系æ°ç符å·ã
ä¾é¢
ä¾1 æ2x^2-7x+3å解å å¼.
åæï¼å
å解äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ï¼åå«åå¨åå交å线çå·¦ä¸è§åå·¦ä¸è§ï¼åå解常æ°é¡¹ï¼å
å«åå¨åå交å线çå³ä¸è§åå³ä¸è§ï¼ç¶å交åç¸ä¹ï¼æ±ä»£æ°åï¼ä½¿å
¶çäºä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°.
å解äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°(åªåæ£å æ°)ï¼
2ï¼1Ã2ï¼2Ã1ï¼
å解常æ°é¡¹ï¼
3=1Ã3=3Ã1=(-3)Ã(-1)=(-1)Ã(-3).
ç¨ç»åå交å线æ¹æ³è¡¨ç¤ºä¸ååç§æ
åµï¼
1 1
â³
2 3
1Ã3+2Ã1
=5
1 3
â³
2 1
1Ã1+2Ã3
=7
1 -1
â³
2 -3
1Ã(-3)+2Ã(-1)
=-5
1 -3
â³
2 -1
1Ã(-1)+2Ã(-3)
=-7
ç»è¿è§å¯ï¼ç¬¬åç§æ
åµæ¯æ£ç¡®çï¼è¿æ¯å 为交åç¸ä¹åï¼ä¸¤é¡¹ä»£æ°åæ°çäºä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°ï¼7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
ä¸è¬å°ï¼å¯¹äºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ax2+bx+c(aâ 0)ï¼å¦æäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°aå¯ä»¥å解æ两个å æ°ä¹ç§¯ï¼å³a=a1a2ï¼å¸¸æ°é¡¹cå¯ä»¥å解æ两个å æ°ä¹ç§¯ï¼å³c=c1c2ï¼æa1ï¼a2ï¼c1ï¼c2ï¼æåå¦ä¸ï¼
a1 c1
? â³
a2 c2
a1c2+a2c1
ææ线交åç¸ä¹ï¼åç¸å ï¼å¾å°a1c2+a2c1ï¼è¥å®æ£å¥½çäºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ax2+bx+cçä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°bï¼å³a1c2+a2c1=bï¼é£ä¹äºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å°±å¯ä»¥å解为两个å å¼a1x+c1ä¸a2x+c2ä¹ç§¯ï¼å³
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
åè¿ç§åå©ç»åå交å线å解系æ°ï¼ä»è帮å©æ们æäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解å å¼çæ¹æ³ï¼é常å«åååç¸ä¹æ³.
ä¾2 æ6x^2-7x-5å解å å¼.
åæï¼æç
§ä¾1çæ¹æ³ï¼å解äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°6å常æ°é¡¹-5ï¼æå®ä»¬åå«æåï¼å¯æ8ç§ä¸åçæåæ¹æ³ï¼å
¶ä¸çä¸ç§
2 1
â³
3 -5
2Ã(-5)+3Ã1=-7
æ¯æ£ç¡®çï¼å æ¤åå¤é¡¹å¼å¯ä»¥ç¨ååç¸ä¹æ³å解å å¼.
解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
æåºï¼éè¿ä¾1åä¾2å¯ä»¥çå°ï¼è¿ç¨ååç¸ä¹æ³æä¸ä¸ªäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ä¸æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å å¼å解ï¼å¾å¾è¦ç»è¿å¤æ¬¡è§å¯ï¼æè½ç¡®å®æ¯å¦å¯ä»¥ç¨ååç¸ä¹æ³å解å å¼.
对äºäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼ä¹å¯ä»¥ç¨ååç¸ä¹æ³å解å å¼ï¼è¿æ¶åªéèèå¦ä½æ常æ°é¡¹å解å æ°.ä¾å¦æx^2+2x-15å解å å¼ï¼ååç¸ä¹æ³æ¯
1 -3
â³
1 5
1Ã5+1Ã(-3)=2
æ以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
ä¾3 æ5x^2+6xy-8y^2å解å å¼.
åæï¼è¿ä¸ªå¤é¡¹å¼å¯ä»¥çä½æ¯å
³äºxçäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼æ-8y^2çä½å¸¸æ°é¡¹ï¼å¨å解äºæ¬¡é¡¹å常æ°é¡¹ç³»æ°æ¶ï¼åªéå解5ä¸-8ï¼ç¨åå交å线å解åï¼ç»è¿è§å¯ï¼éååéçä¸ç»ï¼å³
1 2
?â³
5 -4
1Ã(-4)+5Ã2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
æåºï¼åå¼å解为两个å
³äºxï¼yçä¸æ¬¡å¼.
ä¾4 æ(x-y)(2x-2y-3)-2å解å å¼.
åæï¼è¿ä¸ªå¤é¡¹å¼æ¯ä¸¤ä¸ªå å¼ä¹ç§¯ä¸å¦ä¸ä¸ªå æ°ä¹å·®çå½¢å¼ï¼åªæå
è¿è¡å¤é¡¹å¼çä¹æ³è¿ç®ï¼æåå½¢åçå¤é¡¹å¼åå å¼å解.
é®ï¼ä¸¤ä¸ä¹ç§¯çå å¼æ¯ä»ä¹ç¹ç¹ï¼ç¨ä»ä¹æ¹æ³è¿è¡å¤é¡¹å¼çä¹æ³è¿ç®æç®ä¾¿?
çï¼ç¬¬äºä¸ªå å¼ä¸çå两项å¦ææåºå
¬å å¼2ï¼å°±å为2(x-y)ï¼å®æ¯ç¬¬ä¸ä¸ªå å¼çäºåï¼ç¶åæ(x-y)çä½ä¸ä¸ªæ´ä½è¿è¡ä¹æ³è¿ç®ï¼å¯æåå¤é¡¹å¼å形为å
³äº(x-y)çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼å°±å¯ä»¥ç¨ååç¸ä¹æ³å解å å¼äº.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
â³
2 1
1Ã1+2Ã(-2)=ï¼3
æåºï¼æ(x-y)çä½ä¸ä¸ªæ´ä½è¿è¡å å¼å解ï¼è¿åæ¯è¿ç¨äºæ°å¦ä¸çâæ´ä½âææ³æ¹æ³.
ä¾5 x^2+2x-15
åæï¼å¸¸æ°é¡¹(-15)<0ï¼å¯å解æå¼å·ä¸¤æ°ç积ï¼å¯å解为(-1)(15)ï¼æ(1)(-15)æ(3)
(-5)æ(-3)(5)ï¼å
¶ä¸åªæ(-3)(5)ä¸-3å5çå为2ã
=(x-3)(x+5)
æ»ç»ï¼â x^2ï¼ï¼p+qï¼xï¼pqåçå¼åçå å¼å解
è¿ç±»äºæ¬¡ä¸é¡¹å¼çç¹ç¹æ¯ï¼äºæ¬¡é¡¹çç³»æ°æ¯1ï¼å¸¸æ°é¡¹æ¯ä¸¤ä¸ªæ°ç积ï¼ä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°æ¯å¸¸æ°é¡¹ç两个å æ°çå.å æ¤ï¼å¯ä»¥ç´æ¥å°æäºäºæ¬¡é¡¹çç³»æ°æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å å¼åè§£ï¼ x^2ï¼(p+q)xï¼pqï¼(xï¼p)(xï¼q)
â¡kx^2ï¼mxï¼nåçå¼åçå å¼å解
å¦æè½å¤å解ækï¼acï¼nï¼bdï¼ä¸æadï¼bcï¼m æ¶ï¼é£ä¹
kx^2ï¼mxï¼nï¼(ax+b)(cx+d)
a b
â³
c d
1ãç´æ¥å¼å¹³æ¹æ³ï¼
ç´æ¥å¼å¹³æ¹æ³å°±æ¯ç¨ç´æ¥å¼å¹³æ¹æ±è§£ä¸å
äºæ¬¡æ¹ç¨çæ¹æ³ãç¨ç´æ¥å¼å¹³æ¹æ³è§£å½¢å¦(x-m)2=n (nâ¥0)ç
æ¹ç¨ï¼å
¶è§£ä¸ºx=m± .
ä¾1ï¼è§£æ¹ç¨ï¼1ï¼(3x+1)2=7 ï¼2ï¼9x2-24x+16=11
åæï¼ï¼1ï¼æ¤æ¹ç¨æ¾ç¶ç¨ç´æ¥å¼å¹³æ¹æ³å¥½åï¼ï¼2ï¼æ¹ç¨å·¦è¾¹æ¯å®å
¨å¹³æ¹å¼(3x-4)2ï¼å³è¾¹=11>0ï¼æ以
æ¤æ¹ç¨ä¹å¯ç¨ç´æ¥å¼å¹³æ¹æ³è§£ã
ï¼1ï¼è§£ï¼(3x+1)2=7Ã
â´(3x+1)2=5
â´3x+1=±(注æä¸è¦ä¸¢è§£)
â´x=
â´åæ¹ç¨ç解为x1=,x2=
ï¼2ï¼è§£ï¼ 9x2-24x+16=11
â´(3x-4)2=11
â´3x-4=±
â´x=
â´åæ¹ç¨ç解为x1=,x2=
2ï¼é
æ¹æ³ï¼ç¨é
æ¹æ³è§£æ¹ç¨ax2+bx+c=0 (aâ 0)
å
å°å¸¸æ°c移å°æ¹ç¨å³è¾¹ï¼ax2+bx=-c
å°äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°å为1ï¼x2+x=-
æ¹ç¨ä¸¤è¾¹åå«å ä¸ä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°çä¸åçå¹³æ¹ï¼x2+x+( )2=- +( )2
æ¹ç¨å·¦è¾¹æ为ä¸ä¸ªå®å
¨å¹³æ¹å¼ï¼(x+ )2=
å½b2-4acâ¥0æ¶ï¼x+ =±
â´x=(è¿å°±æ¯æ±æ ¹å
¬å¼)
ä¾2ï¼ç¨é
æ¹æ³è§£æ¹ç¨ 3x2-4x-2=0
解ï¼å°å¸¸æ°é¡¹ç§»å°æ¹ç¨å³è¾¹ 3x2-4x=2
å°äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°å为1ï¼x2-x=
æ¹ç¨ä¸¤è¾¹é½å ä¸ä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°ä¸åçå¹³æ¹ï¼x2-x+( )2= +( )2
é
æ¹ï¼(x-)2=
ç´æ¥å¼å¹³æ¹å¾ï¼x-=±
â´x=
â´åæ¹ç¨ç解为x1=,x2= .
3ï¼å
¬å¼æ³ï¼æä¸å
äºæ¬¡æ¹ç¨åæä¸è¬å½¢å¼ï¼ç¶å计ç®å¤å«å¼â³=b2-4acçå¼ï¼å½b2-4acâ¥0æ¶ï¼æå项
ç³»æ°a, b, cçå¼ä»£å
¥æ±æ ¹å
¬å¼x=(b2-4acâ¥0)å°±å¯å¾å°æ¹ç¨çæ ¹ã
ä¾3ï¼ç¨å
¬å¼æ³è§£æ¹ç¨ 2x2-8x=-5
解ï¼å°æ¹ç¨å为ä¸è¬å½¢å¼ï¼2x2-8x+5=0
â´a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4Ã2Ã5=64-40=24>0
â´x= = =
â´åæ¹ç¨ç解为x1=,x2= .
4ï¼å å¼å解æ³ï¼ææ¹ç¨å形为ä¸è¾¹æ¯é¶ï¼æå¦ä¸è¾¹çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解æ两个ä¸æ¬¡å å¼ç积çå½¢å¼ï¼è®©
两个ä¸æ¬¡å å¼åå«çäºé¶ï¼å¾å°ä¸¤ä¸ªä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨ï¼è§£è¿ä¸¤ä¸ªä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨æå¾å°çæ ¹ï¼å°±æ¯åæ¹ç¨ç两个
æ ¹ãè¿ç§è§£ä¸å
äºæ¬¡æ¹ç¨çæ¹æ³å«åå å¼å解æ³ã
ä¾4ï¼ç¨å å¼å解æ³è§£ä¸åæ¹ç¨ï¼
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (éå¦ï¼ (4)x2-2( + )x+4=0 ï¼éå¦ï¼
(1)解ï¼(x+3)(x-6)=-8 åç®æ´çå¾
x2-3x-10=0 (æ¹ç¨å·¦è¾¹ä¸ºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼å³è¾¹ä¸ºé¶)
(x-5)(x+2)=0 (æ¹ç¨å·¦è¾¹å解å å¼)
â´x-5=0æx+2=0 (转åæ两个ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨)
â´x1=5,x2=-2æ¯åæ¹ç¨ç解ã
(2)解ï¼2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (ç¨æå
¬å å¼æ³å°æ¹ç¨å·¦è¾¹å解å å¼)
â´x=0æ2x+3=0 (转åæ两个ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨)
â´x1=0ï¼x2=-æ¯åæ¹ç¨ç解ã
注æï¼æäºåå¦åè¿ç§é¢ç®æ¶å®¹æ丢æx=0è¿ä¸ªè§£ï¼åºè®°ä½ä¸å
äºæ¬¡æ¹ç¨æ两个解ã
(3)解ï¼6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (ååç¸ä¹å解å å¼æ¶è¦ç¹å«æ³¨æ符å·ä¸è¦åºé)
â´2x-5=0æ3x+10=0
â´x1=, x2=- æ¯åæ¹ç¨ç解ã
(4)解ï¼x2-2(+ )x+4 =0 ï¼âµ4 å¯å解为2 ·2 ï¼â´æ¤é¢å¯ç¨å å¼å解æ³ï¼
(x-2)(x-2 )=0
â´x1=2 ,x2=2æ¯åæ¹ç¨ç解ã
5.ååç¸ä¹æ³
å¯å¯¹å½¢å¦y=x^2ï¼(p+q)xï¼pqåçå¼åçå å¼å解
è¿ç±»äºæ¬¡ä¸é¡¹å¼çç¹ç¹æ¯ï¼äºæ¬¡é¡¹çç³»æ°æ¯1ï¼å¸¸æ°é¡¹æ¯ä¸¤ä¸ªæ°ç积ï¼ä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°æ¯å¸¸æ°é¡¹ç两个å æ°çåãå æ¤ï¼å¯ä»¥ç´æ¥å°æäºäºæ¬¡é¡¹çç³»æ°æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å å¼åè§£ï¼ x^2ï¼(p+q)xï¼pqï¼(xï¼p)(xï¼q)
äºå
äºæ¬¡æ¹ç¨ï¼å«æ两个æªç¥æ°ä¸æªç¥æ°çæé«æ¬¡æ°ä¸º2çæ´å¼æ¹ç¨ã
[ç¼è¾æ¬æ®µ]é注
ä¸è¬å°ï¼nå
ä¸æ¬¡æ¹ç¨å°±æ¯å«æn个æªç¥æ°ï¼ä¸å«æªç¥æ°é¡¹æ¬¡æ°æ¯1çæ¹ç¨ï¼ä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°è§å®ä¸çäº0ï¼
nå
ä¸æ¬¡æ¹ç¨ç»å°±æ¯å 个nå
ä¸æ¬¡æ¹ç¨ç»æçæ¹ç¨ç»ï¼ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨é¤å¤ï¼ï¼
ä¸å
a次æ¹ç¨å°±æ¯å«æä¸ä¸ªæªç¥æ°ï¼ä¸å«æªç¥æ°é¡¹æé«æ¬¡æ°æ¯açæ¹ç¨ï¼ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨é¤å¤ï¼ï¼
ä¸å
a次æ¹ç¨ç»å°±æ¯å 个ä¸å
a次æ¹ç¨ç»æçæ¹ç¨ç»ï¼ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨é¤å¤ï¼ï¼
nå
a次æ¹ç¨å°±æ¯å«æn个æªç¥æ°ï¼ä¸å«æªç¥æ°é¡¹æé«æ¬¡æ°æ¯açæ¹ç¨ï¼ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨é¤å¤ï¼ï¼
nå
a次æ¹ç¨ç»å°±æ¯å 个nå
a次æ¹ç¨ç»æçæ¹ç¨ç»ï¼ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨é¤å¤ï¼ï¼
æ¹ç¨ï¼ç»ï¼ä¸ï¼æªç¥æ°ä¸ªæ°å¤§äºæ¹ç¨ä¸ªæ°çæ¹ç¨ï¼ç»ï¼å«åä¸å®æ¹ç¨ï¼ç»ï¼ï¼æ¤ç±»æ¹ç¨ï¼ç»ï¼ä¸è¬ææ æ°ä¸ªè§£ã
æ¯å¦å¯ä»¥è§£å³æ¨çé®é¢ï¼
追é®ä»ä¹é¬¼