数学分析高数多元微分学 设f（x，y，z）=x^2-xy+y^2+z^2，求它在（1，1，1）处的

Question

数学分析高数多元微分学 设f（x，y，z）=x^2-xy+y^2+z^2，求它在（1，1，1）处的沿各个方向的方向导数，并求出方向导数的最大值、最小值以及方向导数为0的所有方向。
我已求出它沿方向s=（u，v，w）（为单位向量）的方向导数=u+v+2w，但是不知如何求最大最小值以及当它为0的所有方向。
谢谢能提供帮助的朋友
水经验者麻烦不要回答

Answer 1

fx(x,y,z)=∂f/∂x=y²+yz²+2zx

fz(x,y,z)=∂f/∂z=2yz+z

fxx(x,y,z)=∂²f/∂x² = 2z

fxz(x,yz) = ∂²f/∂x∂z=2yz+2x

fzz(x,y,z) =∂²f/∂z²=2y+1

fzzx(x,y,z) =∂³f/∂z³=0

fxx(0,0,1)=2

fxz(1,0,2) = 2

fzzx(2,0,1) = 0

偏导数

偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。

偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数值域的逐点变化的线性映射。

含有偏导数的微分方程称为偏微分方程或“PDE”。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难解出。

Answer 2

单位向量，所以u方+v方+w方=1，然后用拉格朗日乘数法算最值追答

=0就是联立u+v+2w=0和上面的方程求解

最值是正负根号6

如需过程请追问

追问

呃，什么是拉格拉日乘数法？
能麻烦写下过程吗？谢谢

拉格朗日…打错了

追答

能等下不，人在外面，没笔没纸

追问

非常非常感谢！真是既认真又全面呀～
不好意思还想问下最后面那小问…如何求当方向导数为0的所有方向呢？

追答

追问

真是麻烦你了～
嘿嘿，加上v的范围就完美了～

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