椭圆中点弦斜率公式

Question

如题所述

Answer 1

有关椭圆中点弦斜率公式以椭圆为例，椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a〉b〉0）。

设直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），中点N（x0，y0）；x1^2/a^2+y1^2/b^2=1。x2^2/a^2+y2^2/b^2=1

1.首先，我们需要知道椭圆的标准方程。椭圆的标准方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。

2.接下来，我们取椭圆上的两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要计算的是这两点之间的弦的斜率。设这条弦的斜率为m。

3.由于椭圆是对称的，我们可以假设点P位于第一象限，而点Q位于第四象限。这样，我们就可以将椭圆上的两点P和Q分别表示为P(a*cos0,b*sin0)和Q(a*cosp,b*sinφ)，其中θ和φ是角度。

4.由于斜率m等于弦的斜率，我们可以利用直线的斜截式方程y=mx+c来计算斜率m。现在，我们需要找到直线的截距C。

5.考虑点P，我们可以将其代入直线方程得到y1=m*x1+c。由于点P位于椭圆上，我们可以将其代入椭圆的标准方程，得到(x1-h)^2/a^2+(y1-k)^2/b^2=1。

6.将方程中的y1替换为mx1+c，我们得到(x1-h)^2/a^2+(mx1+c-k)^2/b^2=1。

7.同样地，考虑点Q，我们可以得到(x2-h)^2/a^2+(mx2+c-k)^2/b^2=1。

8.现在，我们有两个方程，我们可以将它们整理一下，得到一个二元一次方程组。

9.通过求解这个方程组，我们可以得到斜率m和截距c的值。

10.最后，我们可以使用斜率截距形式的直线方程y=mx+c来表示示弦的斜率。这就是椭圆中点弦斜率公式的推导过程。