∫∫[D] (1-x^2-y^2)^0.5dxdy, 其中D为区域(x-1)^2+y^2≤1。
由于(x-1)^2+y^2≤1,可知该二元函数定义域为x∈[0, 2], y∈[-1, 1]。
便可以得知∫∫D (1-x^2-y^2)^0.5dxdy在x-y平面上投影的面积为π。
由于(1-x^2-y^2)^0.5是由球方程x^2+y^2+z^2=1转换而来的,便又由(1-x^2-y^2)^0.5=z为半球方程在区间x∈[-1, 1], y∈[-1, 1], 这也就是(1-x^2-y^2)^0.5在实数区间内有意义的范围。
由于D区域的限制,可知最终∫∫[D](1-x^2-y^2)^0.5dxdy所取定义域为x∈[0,1],y∈[-1,1],x的区间只是半球方程所对应区间的0.5倍,便知道∫∫[D](1-x^2-y^2)^0.5dxdy的几何意义是求半径为1的球的四分之一的体积。
根据球体积公式V=4/3πr^3可知 ∫∫[D] (1-x^2-y^2)^0.5dxdy=1/3π(1)^3=1/3π。
1/3π便是该二重积分的解。
追问不从几何意义,单纯的计算定积分该怎么算呀