为什么这道概率论题目中二重积分可以拆为两个定积分的乘积？不是一般

Question

为什么这道概率论题目中二重积分可以拆为两个定积分的乘积？不是一般是先求dx再求dy或者先求dy再求dx吗？这种直接拆分不是错的吗我翻过朱来义主编的微积分并没有学过这种性质，求详细解释

Answer 1

积分限是常数表达的意思是与积分变量无关，这里积分限无穷，与x，y无关。

一般来说，x,y需要依次积分；但是，当被积函数可以拆成关于x,y独立的两部分的乘积即f(x)*g(x)，并且x,y的积分限也是独立的即都是常数，那么二重积分可以等效为两个定积分的乘积。

图中问题显然满足以上两个条件，所以过程是正确的。

积分上限函数的定积分：

设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

在正比例函数时，x与y的商一定（x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。

Answer 2

图中解法没有问题。一般来说，x,y需要依次积分；但是，当被积函数可以拆成关于x,y独立的两部分的乘积即f(x)*g(x)，并且x,y的积分限也是独立的即都是常数，那么二重积分可以等效为两个定积分的乘积。
图中问题显然满足以上两个条件，所以过程是正确的。当然，你也可以按照x,y依次积分，并且结果肯定是一样的。
证明也很简单，你按照x,y依次积分就能得到上述结论。追问

这个积分限不是无穷吗？不是常数啊

追答

积分限是常数表达的意思是与积分变量无关，这里积分限无穷，与x，y无关

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