高等数学中函数连续，有界，极限存在三者有什么关系

Question

如题所述

Answer 1

函数在某一点连续必定在该点有极限(且这个极限就是该点的函数值)但反过来不一定，因为f(x)在某一点有极限时，在该点并不一点有定义，所以不一定连续。

函数在某一点连续也必定意味着函数在该点附近的任意一个有定义的去心邻域内有界，反过来不一定，即有界不一定连续。

函数在某个区间内连续则必定在该区间上可积，但反过来不一定，例如著名的黎曼函数，在[0，1]上的所有有理点(除了0)都不连续，但它确是可积的。

几何含义

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

Answer 2

函数在某一点处连续，则在此点必有界，因为无界的话，此点就是它的无穷间断点，与连续矛盾；
反过来，有界未必是连续的，比如跳跃间断点；
函数在某一点处连续，则在此点的左右极限都存在，且等于在该点的函数值，所以连续，则极限存在；
反过来，极限存在，未必等于函数值，也就是说，未必连续；
函数在某一点处有界，但是未必极限存在，例如振荡间断点；
函数在某一点处极限存在，则一定是有界的，因为无界的话，极限至多为无穷，此时极限不存在。
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