某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名

Question

某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试． (1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取两个问题，若两个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若两个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获 A 类资格；其他情况下获 B 类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为 ，求恰有一名同学获得该高校 B 类资格的概率．

Answer 1

（1）280人（2）

(1)设第 i ( i ＝1,2，…，8)组的频率为 f i ，则由频率分布直方图知 f 7 ＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12. 所以成绩在260分以上的同学的概率 P ≈ ＋ f 8 ＝0.14， ∴2 000×0.14＝280， 故这2 000名同学中，取得面试资格的约为280人． (2)不妨设两名同学分别为 M ， N ，且 M 的笔试成绩在270分以上，则对于 M ，答题的可能有 M 11 ， M 10 ， M 01 ， M 00 ，对于 N ，答题的可能有 N 11 ， N 10 ， N 01 ， N 00 ，其中角标中的1表示正确，0表示错误，如 N 10 表示 N 同学第一题正确，第二题错误． 将两名同学的答题情况列表如下：   M 11 M 10 M 01 M 00 N 11 AB BB BB CB N 10 AB BB BB CB N 01 AB BB BB CB N 00 AC BC BC CC 表中 AB 表示 M 获 A 类资格， N 获 B 类资格； BC 表示 M 获 B 类资格， N 没有获得资格． 所以恰有一名同学获得该高校 B 类资格的概率为 ＝ .