B的错误是你无法判定α1与β1-β2线性无关,所以α1,β1-β2是不是基础解系很难说。举个例子:x1+x2+x3=1,取β1=(1,0,0)',β2=(0,1,0)',α1=(1,-1,0)',α2=(1,0,-1)'。此时α1=β1-β2,所以α1,β1-β2不是Ax=0的基础解系。
Ax=0的解的特点:任意两个解的和或差还是解;任意一个解的倍数还是解。这两个性质结合起来就是:任意有限个非零解的线性组合还是解。如果你选择的有限个非零解线性无关,且个数是n-r(A),则这有限个非零解就是基础解系,它们的线性组合就是通解。
Ax=b的解的特点:任意两个解的差是Ax=0的解;Ax=b的解与Ax=0的解的和还是Ax=b的解。当你知道了Ax=b的一个解α,那么Ax=b的任意一个解x与α的差x-α是Ax=0的解,就可以用Ax=0的基础解系线性表示,所以Ax=b的通解就是x=α+(Ax=0的通解)。
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