为什么连续不一定可导？

Question

如题所述

Answer 1

可导一定连续，连续不一定可导。

证明：

设y=f(x)在x0处可导，f'(x0)=A。

由可导的充分必要条件有：

f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）。

当x→x0时，f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）。

再由定理：当x→x0时，f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得，limf(x)=f(x0)。

有关定义：

1. 可导：是一个数学词汇，定义是设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x_0处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x_0处可导。

2. 连续：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。如果当自变量Δx趋向于0时。相应的函数改变量Δy也趋向于0， 则称函数y=f(x)在点x0处连续。

若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。

连续分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。