如何证明幂等矩阵可相似对角化?

Question

如题所述

Answer 1

证明幂等矩阵可相似对角化：n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。

先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；设A₁，A₂都是幂等矩阵，则（A₁+A₂）为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=0，且有：R（A₁+A₂）=R（A₁）⊕R（A₂）；N（A₁+A₂）=N（A₁）∩N（A₂）。

性质

幂等矩阵的主要性质：

1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1。

2、幂等矩阵可对角化。

3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)。

4、可逆的幂等矩阵为E。

5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。