首先可以求出a和b。
将点A代入直线方程：
2 - 1 - 1 = 0
将点A代入双曲线方程：
(2^2) / a^2 - (1^2) / b^2 = 1
现在我们有两个方程：
a^2 = 4
4/a^2 - 1/b^2 = 1
从方程1我们得到a^2 = 4，所以a = 2或a = -2（但a应为正值，所以取a = 2）。
接下来，我们使用离心率的定义求b。已知离心率e = 2√3/3，对于双曲线，离心率的定义为e = √(1 + (b^2 / a^2))。将a和e的值代入公式，我们得到：
(2√3/3)^2 = 1 + b^2 / 2^2
解这个方程，我们得到b^2 = 8。
综上，双曲线的标准方程为：
x^2 / 2^2 - y^2 / 8 = 1 或 x^2 / 4 - y^2 / 8 = 1
接下来我们求ΔAOB的面积。由于双曲线与直线相交于两点A和B，我们可以通过计算两个交点到原点O的距离，然后使用距离公式计算出两点间的距离，最后利用公式（1/2） * 基 * 高求出三角形的面积。
已知直线方程为x - y - 1 = 0，可以转换为y = x - 1。将其代入双曲线方程，得到：
x^2 / 4 - (x - 1)^2 / 8 = 1
解这个方程，我们得到x1 = 2（即点A）和x2 = 1/2。因此，点B的坐标为B(1/2, -1/2)。
计算OA和OB的距离：
OA = √((2 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = √(4 + 1) = √5
OB = √((1/2 - 0)^2 + (-1/2 - 0)^2) = √((1/4) + (1/4)) = √(1/2)
计算AB的距离：
AB = √((2 - 1/2)^2 + (1 - (-1/2))^2) = √((3/2)^2 + (3/2)^2) = 3/√2 * √2 = 3
现在我们知道了三角形ΔAOB的三条边长，可以使用海伦公式求解面
继续求解ΔAOB的面积。由于已知OA、OB和AB的长度，我们可以通过计算三边的半周长（s）来求解三角形的面积。
三角形的半周长s为：
s = (OA + OB + AB) / 2 = (√5 + √(1/2) + 3) / 2
接下来，我们使用海伦公式求解三角形的面积：
面积 = √(s * (s - OA) * (s - OB) * (s - AB))
将已知的边长代入公式，计算面积：
面积 = √[((√5 + √(1/2) + 3) / 2) * ((√5 + √(1/2) + 3) / 2 - √5) * ((√5 + √(1/2) + 3) / 2 - √(1/2)) * ((√5 + √(1/2) + 3) / 2 - 3)]
计算结果约为：面积 ≈ 1.229
因此，ΔAOB的面积约为1.229。
详细过程如图所示。
函数图像以及相交情况如图所示。
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 ...(1)
x - y - 1 = 0 ...(2)
相交于点A(2, 1)和点B，将点A(2, 1)代入双曲线方程(1)得：
(2^2) / a^2 - (1^2) / b^2 = 1
4 / a^2 - 1 / b^2 = 1 ...(3)
又已知离心率 e = 2 * √3 / 3。离心率的定义 e = √(1 + (a^2 / b^2))。将已知的 e 值代入得：
(2 * √3 / 3)^2 = 1 + (a^2 / b^2)
4 * 3 / 9 = 1 + (a^2 / b^2)
4 / 3 = (a^2 / b^2) ...(4)
由方程(3)和(4)可以解出a^2和b^2的值。将方程(4)代入方程(3)得：
4 / a^2 - 3 * (4 / 3) / a^2 = 1
1 / a^2 = 1
a^2 = 1
将a^2代入方程(4)得：
1 / b^2 = 4 / 3
b^2 = 3 / 4
得到双曲线的标准方程为：
x^2 / 1 - y^2 / (3 / 4) = 1
即：
x^2 - (4 / 3)y^2 = 1