齐次线性方程组只有零解和有非零解的意思是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

齐次线性方程组只有零解说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解）。齐次线性方程组有非零解即有无穷多解。

扩展资料：

1、常数项全为0的n元线性方程组

称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

（1）当r=n时，原方程组仅有零解；

（2）当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

2、判定定理

（1）定理1

齐次线性方程组  有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

（2）推论

齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是r(A)=n。

3、齐次线性方程求解步骤

（1）对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

（2）若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

（3）继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；

（4）选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解.

参考资料：百度百科-齐次线性方程

Answer 2

齐次线性方程组只有零解：说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解），即A的秩r（A）=未知数的个数n
<=>A为列满秩矩阵
齐次线性方程组有非零解:即有无穷多解<=>A的秩
小于未知数的个数n

Answer 3

只有零解
：即方程组的解为
所有未知数都等于零，且只有这一个（组）解！
有非零解：即至少有一个未知数的值可以不为零。

Answer 4

在求解齐次方程组Ax=b的时候有一种方法：当系数矩阵A的行列式不为0时，其解可通过下述方法求解：
解的表达式为：X1=D1/D;
X2=D2/D;
......;
Xi=Di/D，此处D为A的行列式；Di表示用b取代D中的第i列元素之后所形成的新的矩阵的行列式，i为矩阵A的阶数。