拉格朗日型余项是怎么得出的

Question

如题所述

Answer 1

罗尔定理，
对一个函数y=f(x),
在[x1,x2]上，有f(x1)=f(x2)=0
f(x)连续可导,而且导函数连续，则存在一点μ∈（x1,x2），使得f'(μ）=0
（用连续函数的最大值最小值定理以及可导函数的求导的定义式可以证明）

则考虑连续可导函数y=g(x),在[a,b]上，
构造函数：
G(x)=g(x)-(g(a)-g(b))/(a-b)·x+(b·g(a)-a·g（b))/(a-b)
则G(a)=G(b)=0
G(x)在[a,b]上连续可导,而且导函数连续，由罗尔定理
存在一点μ∈（a,b）,G'(μ）=0
即：g'(μ）=(g(a)-g(b))/(a-b)
上式就是拉格朗日定理

由带佩亚诺余项的泰勒公式有：
对于n阶可导的函数f(x),
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n-1)(x0)(x-x0)^(n-1)/(n-1)!+o[(x-x0)^(n-1)]

（o[(x-x0)^(n-1)]=f(n)(x0)(x-x0)^(n)/n!
对两边求n-1次导数有：f(n-1)(x)=f(n-1)(x0)+f(n)(x0)·(x-x0)
移项有：f(n)(x0)=[f(n-1)(x)-f(n-1)(x0)]/(x-x0)
由导数的定义式可得，（x-x0）→0时，两边相等，得证）

下证带有拉格朗日型余项的泰勒公式：
对于存在直到n+1阶连续导函数的函数f(x),
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!+f(n+1)(μ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!
μ∈（x0,x)
两边求n次导数
f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
对比拉格朗日定理，由于存在n+1阶导数
f(n)(x)在[x0,x]上连续可导,而且导函数连续
由拉格朗日定理：
存在一点μ∈（x0,x），f'(n)(μ）=(f(n)(x)-f(n)(x0))/(x-x0)
即得：f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
证毕 口