向量的叉乘公式

Question

如题所述

Answer 1

向量积，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系(i, j, k)的左右手定则。若 (i, j, k)满足右手定则，则 (a, b, a×b)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

Answer 2

叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

　　|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

　　向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

　　因此

　　向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b= -
向量b×向量a

　　在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

　　将向量用坐标表示（三维向量），

　　若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

　　则

　　向量a×向量b=

　　| i j k |

　　|a1 b1 c1|

　　|a2 b2 c2|

　　=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

　　（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。

Answer 3

带矩阵的向量叉乘公式:
M表示n阶矩阵,a,b均表示n*1(列)向量
设cross(Ma,Mb) = N cross(a,b),问 N 如何用M表示？
答：
[1]引言
在百度百科搜索向量积，叉积，矢量积，外积，其中前两者给出了重要参考内容。
向量叉积的坐标表示：
设a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)，
则 a×b=
下面矩阵的行列式，其中i,j,k为单位向量，其它为数。
i j k 　　
a1 b1 c1
a2 b2 c2
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
给定直角坐标系的单位向量 i，j，k满足下列等式：
i ×j = k
j ×k = i
k ×i = j
[2]题：
M表示n阶矩阵,a,b均表示n*1(列)向量
设cross(Ma,Mb) = N cross(a,b),问 N 如何用M表示？
解：
将上面引言中的设定进行转置,记号不变,即我们现在设a=(a1,b1,c1)'，b=(a2,b2,c2)' (3*1的列向量).这里只是备用,不一定用得到.
设M由三个行向量r1,r2,r3组成.下面用*表示点乘和矩阵乘法.
则Ma=(r1*a, r2*a, r3*a), Mb= (r1*b, r2*b, r3*b)
于是
cross((Ma,Mb)=
下面矩阵A的行列式
i j k 　　
r1*a r2*a r3*a
r1*b r2*b r3*b
注意也可以是它的转置矩阵A'的行列式.
而A'
=M*矩阵B
=M*矩阵{(i,j,k)', a, b}
故
cross((Ma,Mb)=det(M)*det(B)
这里det(M)或记为|M|,是M的行列式.
由引言类比,易知
cross(a,b)=矩阵B的行列式=det(B).
综上,
cross(Ma,Mb) = det(M)* cross(a,b)
所求N=|M|

Answer 4

Answer 5

两个向量的叉乘等于向量绝对值的乘积再乘sin 夹角。