四元数的群旋转

Question

如题所述

Answer 1

像在四元数和空间转动条目中详细解释的那样，非零四元数的乘法群在R3的取实部为零的拷贝上以共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）的共轭作用，若实部为cos(t），是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：
非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）
比矩阵更紧凑（更快速）
单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群（一个李群）。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO（3,R）的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S3和SU（2）同构，SU（2）是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a,b,c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。