若函数f(x)在x=0处连续，则(x趋向于零时)，limf(x)=f(0)。
此时，若：limf(x)/x(x趋向于零时)存在，必有：f(0)=0。
故：(x趋向于零时) lim{[f(x)-f(0)]/(x-0)}=lim{f(x)/x}。
即知：f(x)在x=0处可导。
相关信息：
根据可导与连续的关系定理：函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续，但逆命题不成立。
“函数f(x)在点x0处有连续”是“函数f(x)在x0处极限存在”的“充分条件”。
因为“函数f(x)在点x0处有连续”,则f(x)在点x0处的左极限=f(x)在点x0处的右极限=f(x0).即,函数f(x)在x0处极限=f(x0)。
“函数f(x)在x0处极限存在”,此时,①f(x)可以在x0无定义. 必定f(x)在x0不连续②或有可能,f(x)在x0有定义,但f(x0)≠f(x)在x0处极限, 必定f(x)在x0不连续。
更具体地说，如果 f(x) 在 x=0 处连续，需要满足以下三个条件：
1. 左极限和右极限存在且相等：lim┬(x0⁻) f(x) = lim┬(x0⁺) f(x)。
这表示靠近 x=0 的左边和右边的极限值存在，并且相等。也就是说，无论从左侧或右侧接近 x=0，函数都趋向于相同的极限值。
2. 函数值存在：f(0)存在。
这表示函数在 x=0 处有定义，它的函数值存在。
3. 极限值和函数值相等：lim┬(x0) f(x) = f(0)。
这表示当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) 的极限值等于它在 x=0 处的函数值。换句话说，函数在 x=0 处没有跳跃或间断。
因此，如果 f(x) 在 x=0 处连续，那么函数在该点周围的图像是连续、无间断的，没有突变或断裂。
当说函数 f(x) 在 x = 0 处连续时，意味着函数在 x = 0 的点上没有跳跃、断裂或间断，并且可以通过 x = 0 的点进行平滑的连接。
具体来说，当函数 f(x) 在 x = 0 处连续时，以下三个条件需要同时满足：
f(0) 存在：函数在 x = 0 处有定义，即 f(0) 有一个确定的实数值。
左极限和右极限存在：函数在 x = 0 的左侧极限和右侧极限都存在，即 lim┬(x→0⁻) f(x) 和 lim┬(x→0⁺) f(x) 都存在。
极限等于函数值：函数在 x = 0 的左侧极限和右侧极限都等于函数在 x = 0 处的函数值，即 lim┬(x→0⁻) f(x) = lim┬(x→0⁺) f(x) = f(0)。
这三个条件的满足表明函数 f(x) 在 x = 0 处没有间断、跳跃或断裂，并且可以在 x = 0 的点上平滑地绘制连续的曲线。
连续性是函数的重要性质之一，它保证了函数在给定点上的光滑性和连贯性，使得我们可以在该点进行进一步的分析和推导。
因此，f（x）在x＝0点连续，可以得到lim（x趋于0）＝f（0）