高等数学题，求解题过程

Question

高等数学题，求解题过程3，4，5题

Answer 1

解:
(1) f(x)是增函数说明f(x)的导数(-2x^2+2ax+4)/(x^2+2)^2>=0在区间[-1，1]上恒成立
即-2x^2+2ax+4>=0在区间[-1，1]上恒成立
则f(-1)>=0 f(1)>=0即有-1<=a<=1
(2)将f(x)=1/x整理成二次函数形式为x^2-ax-2=0 两根为x1,x2
则x1+x2=a x1x2=-2 从而有
|x1-x2I^2=(x1+x2)^2-4x1x2=a^2+8
所以m^2+tm+1>=|x1-x2|即为m^2+tm+1>=√(a^2+8)
要求m^2+tm+1>=√(a^2+8)对任意a属于[-1，1]及t属于[-1，1]恒成立
则要求上式左边f(t)=mt+m^2+1最小值必须>=右边f(a)的最大值
而f(t)为一次函数所以要讨论一下
当m>0时最小值f(t)=f(-1)=m^2-m+1>=3得m>=2
当m<0时最小值f(t)=f(1)=m^2+m+1>=3得m<=-2
当m=0时显然不成立
所以m的范围为m>=2或m<=-2
∵|x|=x (x≥0)-x (x<0)
∴1-1|x|dx=0-1|x|dx+01|x|dx
=0-1(-x)dx+01xdx，故应选C.
4.设f(x)=x2 (0≤x<1)2-x (1≤x≤2)，则02f(x)dx等于( )
A.34 B.45
C.56 D.不存在
[答案] C
[解析] 02f(x)dx=01x2dx+12(2-x)dx
取F1(x)=13x3，F2(x)=2x-12x2，
则F′1(x)=x2，F′2(x)=2-x
∴02f(x)dx=F1(1)-F1(0)+F2(2)-F2(1)
=13-0+2×2-12×22-2×1-12×12=56.故应选C.
5.abf′(3x)dx=( )
A.f(b)-f(a) B.f(3b)-f(3a)
C.13[f(3b)-f(3a)] D.3[f(3b)-f(3a)]