y=e^x上哪一点曲率半径最小

Question

书上答案说是(根号2)/2这一点，不知道是怎么求的

Answer 1

答：
曲率半径公式：
R=(1+y'^2)^(3/2)/|y''|
y=e^x,y'=y''=e^x
所以R=(1+e^(2x))^(3/2)/e^x
要求R的极值，即求R'
R'=3e^x(1+e^(2x))^(1/2)-e^(-x)(1+e^(2x))^(1/2)
令R'=0
化简得：2e^(2x)=1,即x=ln(1/2)/2,此时y=√2/2
所以在点(ln(1/2)/2,√2/2)上曲率半径最小。代入得此时曲率半径R=3√3/2
答案那个是纵坐标。

Answer 2

可利用导数的几何意义：
f（x0）的导数表示曲线y=f（x0）在点（x0,f（x0））处的切线斜率。
曲线y=e^x+1与直线2x-y+1=0平行
知斜率
k=2
曲线y=e^x+1的导数为
y'=e^x=k
得
x=ln2
y=e^x+1=3
切线斜率为k=2，且过点（ln2,3）
点(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离公式为：
d=|ax0+by0+c|/根号(a^2+b^2)