高数求定积分题目

Question

∫ 上面是1/2,下面是-1/2 。 1/√(1-x^2) 括号内部分在根号内 dx ∫ 上面是 √(3)a 3在根号内 a在根号外，下面是0。 1/(a^2+x^2) dx 上面一题我在做的时候把1/√(1-x^2) 化成arcsinx 但根据莱布尼茨公式 将1/2和-1/2带入后就不知道怎么解了，同样下面一题也是。

Answer 1

解:1、∫(-1/2,1/2)
1/√(1-x^2)dx=arcsinx|(-1/2,1/2)=arcsin(1/2)-arcsin(-1/2)=π/6-(-π/6)=π/3
2、∫(0,√3*a)
1/(a^2+x^2)dx=∫(0,√3*a)
1/a*a/(a^2+x^2)dx=1/a*∫(0,√3*a)
darctan(x/a)
=1/a*arctan(x/a)|(0,√3*a)=1/a*(arctan√3-arctan0)=π/(3a)
(用到:[arctan(x/a)]'=1/[1+(x/a)^2]*(1/a)=a/(a^2+x^2))
积分后根据牛顿-莱布尼兹公式直接将上下限代入作差即可。
不明白可追问