二元函数介值定理证明为什么直接设内点？

Question

二元函数介值定理证明为什么直接设内点

Answer 1

二元函数介值定理（又称为魏尔斯特拉斯中值定理）是数学分析中的一个重要定理。它说明了如果一个实数函数在一个闭区间上连续，那么它将取到这个区间内的任意两个值之间的所有值。
证明二元函数介值定理的一种常见方法是通过反证法。假设函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，但没有取到区间 [f(a), f(b)] 内的某个值 L。我们可以构造一个新函数 g(x) = f(x) - L，它在闭区间 [a, b] 上连续，并且 g(a) 和 g(b) 异号。

根据零点定理，由于 g(a) 和 g(b) 异号，存在一个介于 a 和 b 之间的实数 c，使得 g(c) = 0，即 f(c) = L。这与假设矛盾，因为我们假设函数 f 在闭区间 [a, b] 上没有取到值 L。

直接设内点是一种简化证明过程的方法，它基于以下观察：如果一个函数在闭区间的两个端点上取到了两个不同的值，那么通过介值定理，它在这个闭区间内将会取到无数个值，包括这两个端点的值。

因此，我们可以设想一个内点（介于 a 和 b 之间的某个值），通过介值定理，证明函数在这个内点上也会取到同样的值。这样可以简化证明过程，避免繁琐的推导和构造新函数，直接利用介值定理的特性来达到证明的目的。

总体来说，直接设内点是在证明二元函数介值定理时的一种常用的简化证明方法，可以使证明更加简洁清晰。