如何求曲率？

Question

如题所述

Answer 1

曲率（Curvature）是描述曲线在某一点方向变化快慢程度的量，通常用κ表示。
曲率的计算公式如下：
κ=lim(h->0) [|f(x+h)-f(x-h)|/(2h)]
其中f(x)表示曲线函数，x表示曲线上的点，h表示该点附近的微小变化量。
对于圆，曲率是常数，即κ=1/r，其中r表示圆的半径。
对于直线，曲率不存在，即κ=∞。
对于一般的平面曲线，曲率可以通过上述公式计算，也可以通过第二类曲率半径来计算：
ρ=(1+|y'|)^(3/2)/|y''|
其中y'和y''分别表示函数y对x的一阶导数和二阶导数。

Answer 2

y=lnx
y'=1/x
y''=-x^(-2)
曲率半径公式ρ=[(1+y'^2)^(3/2)]/∣y"∣
= (1+ (1/x)^2)^(3/2) / (x^(-2))
=x^2 * (1+ x^(-2) )^(3/2)
对它求导
=2x*(1+x^(-2))^(3/2) +x^2 * 3/2*(1+x^(-2))^(1/2) *(-2)x^(-3)
=2x*(1+x^(-2))*(1+x^(-2))^(1/2)-3*x^(-1)*(1+x^(-2))^(1/2)
=(2x-1/x)*(1+x^(-2))^(1/2)
=(2x^2-1)*(1+x^2))^(1/2)/x
2x^2-1=0
x=2^(1/2)时,曲率半径最小
代入曲率半径公式ρ=2*(1+1/2)^(3/2)=2*(3/2)^(3/2)