可积一定可微吗？

Question

如题所述

Answer 1

不一定。R可积一定L可积，反之不一定。

从R积分到L积分：传统上的很多物理量都可以表示成定积分的形式，但随着现代科学的发展，对数学提出越来越高的要求，客观上必须扩大数学的研究对象，而扩大的方式之一就是降低数学法则以及法则的苛刻的条件，R积分对可积和积分和极限的交换顺序要求过于苛刻。

原因

这源于R积分的定义，分割，求和在求极限，后面好像没问题，但分割好像有点问题，因为其是对定义域的分割，使得在分割点处一部分函数值跳跃很大的，进而产生误差。

而L积分保留了后者，即求和，求极限，其首先建立一定的预备工作，如可测集与可测函数的定义，然后改对值域的分割，进而扩大积分的对象。