切线方程
切线方程研究切线以及切线的斜率方程,涉及几何、代数、物理向量等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。
中文名
切线方程
外文名
无
证明方法
向量法
类别
数学领域
证明:
向量法
设圆上一点A为(x0,y0),则该点与圆心O的向量OA(x0-a,y0-b)
因为过该点的切线与该方向半径垂直,则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0.
设直线上任意点B为(x,y)
则对于直线方向上的向量AB(x-x0,y-y0)
有向量AB与OA的点积
AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)
=(x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)
=(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0
故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
分析-解析法
设圆上一点A为(x0,y0),则有:(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
对隐函数求导,则有:
2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0
dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k
(隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程,方法相同)
或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;(k1为与切线垂直的半径斜率。)
得k=(a-x0)/(y0-b) (以上处理是假设斜率存在,在后面讨论斜率不存在的情况)
所以切线方程可写为:y=(a-x0)/(y0-b)x+B
将点(x0,y0),可求出B=(x0-a)x0/(y0-b)+y0
所以:
y(y0-b)+(x0-a)x=(x0-a)x0+(y0-b)y0
(y0-b)(y-b+b-y0)+(x0-a)(x-a+a-x0)=0
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=(x0-a)^2+(y0-b)^2
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=R^2
当斜率不存在时,切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。
此类切点有2个,不妨设为M(a-r,b);N(a+r,b)
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=r^2
将2点带入上式,亦成立。
故得证。
常见切线方程证明过程
圆
过圆外一点的2条切线
若点M(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,,
则过点M的切线方程为
x0 x + y0 y + D*(x+x0)/2 + E*(y+y0)/2 + F =0
或表述为:
若点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上,
则过点M的切线方程为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
若已知点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外,
则切点AB的直线方程也为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
椭圆
若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在椭圆上,
则过点P椭圆的切线方程为
(x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1.★yanji
证明:
椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 ...(1)
对椭圆求导得y'=-b^2·x/a^2·y, 即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,
故切线方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。
双曲线
若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在双曲线上,
则过点P双曲线的切线方程为
(x·x0)/a^2 - (y·y0)/b^2=1..★
此命题的证明方法与椭圆的类似,故此处略之。
抛物线
若抛物线的方程为y^2=2px(p>0), 点P(x0,y0)在抛物线上,则
过点P的抛物线的切线方程为
y·y0 = p·(x+x0)
此命题的证明方法亦与椭圆的类似,可设切线方程为y-b=k(x-a)
联立切线与抛物线。
y=k(x-a)+b
则
[k(x-a)+b]^2-2px=0
整理得
k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0
因为为相切,所以
△=0
则(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0
可求得k=p/b。
代回y-b=k(x-a)
y=p(x-a)/b+b
曲线的切线方程也可以用导数求解。
更为简便的计算方法:
设切线方程为x-a=m(y-b),联立切线与抛物线
y^2-2pmy+2pmb-2pa=0
△=0,p^2m^2-2pbm+2pa=0,解得m=b/p
切线方程:x-a=b/p(y-b),化简得by=p(x+a)
微积分方法:
在M(a,b)点斜率为
求导:
2yy'=2p
代入点(a,b)
则y'=p/b
所以切线为:y=p(x-a)/b+b
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