证明:不妨设
抛物线是x^2=4py(p>0),
准线是y=-p,焦点F(0,p)
设M(t,-p)是准线上任意一点,过M作抛物线的两条切线MA、MB,A、B是
切点。
因A、B在抛物线上,设A(2pm,pm^2),B(2pn,pn^2) (m≠n)
由x^2=4py 得y=x^2/(4p), y'=x/(2p)
在A处切线斜率k=m,
切线方程是mx-y-pm^2=0
它过M(t,-p)得 mt+p-pm^2=0
即 pm^2-tm-p=0 (1)
在B处切线斜率k=n,切线方程是nx-y-pn^2=0
它过M(t,-p)得 nt+p-pn^2=0
即 pn^2-tn-p=0 (2)
由(1)(2) 得m,n是方程z^2-tz-p=0的两个根
得 m+n=t/p, 且 mn=-1 (3)
由A(2pm,pm^2),B(2pn,pn^2) (m≠n)可得直线AB的方程是
(m+n)x-2y-2pmn=0
将(3)代入得 (t/p)x-2y+2p=0
即 tx-2p(y-p)=0
该直线恒过F(0,p) .
得证。
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