O是给定抛物线（y2=2px）的顶点,使用结论可以用直尺和圆规作出它的焦点,你还有其他方法吗？

Question

结论：抛物线y2=2px,A.B是抛物线上两点，若OA⊥OB，则直线AB恒过定点（2p,0)

Answer 1

这有一个笨办法：

先以顶点为圆心画弧交抛物线于两点 A、B，再作 AB 的垂直平分线即为对称轴（x 轴），过顶点作与对称轴垂直的直线即为 y 轴；

从抛物线上任一点（例如 A 点）作坐标轴的垂线，可得 A 点坐标(x,y)，然后由 2p=y²/x 利用作图法可求得 2p 长；从顶点沿对称轴量取 p/2 即为焦点；

Answer 2

对于顶点在原点的抛物线y^2=2px,设其图像上存在异于原点的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),另设AB:y=kx+m和抛物线方程y^2=2px联立，再用伟达定理得x1x2=m^2/k^2、y1y2=2pm/k(这里不太好打，最好自己算下)，因为OA⊥OB,故有Koa×Kob=-1即x1x2+y1y2=0，即m^2/k^2+2pm/k=0设t=m/k则t^2+2pt=0，易知t≠0所以t=-2p,因此y=kx+m=k(x+t)=k(x-2p)故AB恒过定点(2p,0)