三角函数和差化积公式

Question

如题所述

Answer 1

三角函数全部公式：两角和与差的三角函数
　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化积公式
　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差公式
　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
　　cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2　
　　tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)
　　cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)
　　sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)
　　csc(2α)=1/2*secα·cscα
三倍角公式
　　sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
　　cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
　　tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) =tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
　　cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)
n倍角公式
　　sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
　　cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…
半角公式
　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
　　cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)
　　sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))
　　csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))
辅助角公式
　　Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）
　　Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）
万能公式
　　sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
　　cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
　　tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
降幂公式
　　sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
　　cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
　　tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角和的三角函数
　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
其它公式
　　1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
　　csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)
　　cos30=sin60
　　sin30=cos60
推导公式
　　tanα+cotα=2/sin2α
　　tanα-cotα=-2cot2α
　　1+cos2α=2cos^2α
　　1-cos2α=2sin^2α
　　1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2
其他及证明
　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
　　以及
　　sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
　　证明：
　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）
　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
　　等式得证
　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
　　证明:
　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
　　等式得证
　　三倍角公式推导
　　sin3a
　　=sin(2a+a)
　　=sin2acosa+cos2asina
　　=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
　　=3sina-4sin^3a
　　cos3a
　　=cos(2a+a)
　　=cos2acosa-sin2asina
　　=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
　　=4cos^3a-3cosa
　　sin3a=3sina-4sin^3a
　　=4sina(3/4-sin^2a)
　　=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]
　　=4sina(sin^260°-sin^2a)
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
　　cos3a=4cos^3a-3cosa
　　=4cosa(cos^2a-3/4)
　　=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
　　=4cosa(cos^2a-cos^230°)
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
　　上述两式相比可得
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

Answer 2

Answer 3