如图，在△ABC中，点P在BA延长线上，且∠PCA=∠B，PM平方∠CPA，交CA,CB于E,F

Question

如图，在△ABC中，点P在BA延长线上，且∠PCA=∠B，PM平方∠CPA，交CA,CB于E,F，若CE,CF为方程X²+（m-2）x+m+1=0的两根
（1）求m的值
（2）若CA=二分之三，求证：CP=2PA

Answer 1

（1）因为PM平分∠CPA，所以∠BPF=∠CPE
又因为∠PCA=∠B，所以，在△PBF与△PEC中，∠PFB=∠PEC
所以，∠CFE=∠CEF
所以，△CEF为等边三角形
所以，CE=CF
又因为CE,CF为方程X²+（m-2）x+m+1=0的两根，根据系数与根的关系，
所以，CE+CF=-（m-2）
CE*CF=m+1
所以，CE=-（m-2）/2
所以，（m-2）²/4=m+1
所以，m²-8m=0
所以，m=0 或者 m=8
当m=0时，CE=1
当m=8时，CE=-3
又因为CE>0，所以，m=0
（2）因为∠CEF=∠PEA（对角），所以∠PFC=∠PEA
又因为∠CPF=∠APE（PM平方∠CPA），所以△CPF类似△APE
所以，PC/PA=CF/AE=CF/（AC-CE）=CE/（AC-CE）=1/（3/2-1）=2
所以，PC=2PA