向量内积的计算公式是将两个向量对应分量相乘再相加。
给定两个n维向量\[ \mathbf{A} = (A_1, A_2, \ldots , A_n) \]和\[ \mathbf{B} = (B_1, B_2, \ldots , B_n) \]，它们的内积（也称为点积）可通过以下公式计算：\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + \ldots + A_nB_n \]
这个公式表示将对应位置的分量相乘，然后将结果相加得到最终的内积。内积在许多数学和科学领域中都具有重要的应用。在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角和相似性度量。
内积还可以用于计算向量在某个方向上的投影和向量长度的计算。在物理学和工程学中，内积被广泛应用于力学、电磁学和信号处理等领域。例如，功、能量和功率等物理量可以通过向量间的内积来计算。
向量内积的计算和性质向量内积也称为点积或数量积
内积计算的结果是一个标量，表示两个向量之间的相关性和投影关系。交换律：向量内积满足交换律，即\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \]。这意味着两个向量的内积不受它们的顺序影响。
分配律：向量内积满足分配律，即\[ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} \]。这表示内积对于向量的加法是可分配的。
数乘的结合律：向量内积与标量乘法满足结合律，即\[ k(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (k\mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot (k\mathbf{B}) \]，其中k是一个标量。这些性质使得向量内积成为向量代数中的基本运算，具有良好的运算结构和代数特性。