微分方程的积分怎么算？

Question

如题所述

Answer 1

1. 利用积分公式，可以求得微分方程的解。具体的解答过程如下所示。
2. 积分是微分的逆运算，可以用来计算曲线下的面积。不同类型的多项式，其积分的公式也不相同。
3. 方法一：
- 对于多项式 y = a*x^n，其积分公式为 y = (a/(n+1))*x^(n+1)。
- 对于不定积分，一个多项式对应多个解，因此要加上积分常数 C。所以，例如 y = a*x^n 的积分结果是 y = (a/(n+1))*x^(n+1) + C。
- 在微分中，所有常数项都被省略。因此，在求积分时，积分结果可以加上任意的常数。
- 根据上述公式，例如 y = 4x^3 + 5x^2 + 3x 的积分是 (4/4)x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C = x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C。
4. 方法二：
- 上述公式不适用于形式为 x^-1 或 1/x 的积分。计算指数为 -1 的指数式的积分时，其结果是自然对数的形式。例如 (x+3)^-1 的积分是 ln(x+3) + C。
- e^x 的积分就是它本身。e^(nx) 的积分是 1/n * e^(nx) + C；因此，e^(4x) 的积分是 1/4 * e^(4x) + C。
- 三角函数的积分需要记忆。要记住以下积分公式：cos(x) 的积分是 sin(x) + C，sin(x) 的积分是 -cos(x) + C（注意负号！），根据这两个公式，可以计算 tan(x)，即 sin(x)/cos(x) 的积分。其积分是 -ln|cos x| + C，你可以求它的微分来验证。
- 对于更复杂的多项式，如 (3x-5)^4，要使用替换法来求积分。引入一个变量，如 u，来代替多项式 3x-5，这样可以简化所求的式子，然后套用上面的基本积分公式。
- 计算两个函数相乘的积分，使用分部积分法。