这道概率论的题怎么做?

如题所述

分享一种解法【为表述“简捷”一些,令U=X1、V=X2,A=1/√(2π)】。由题设条件,有E(U)=E(V)=0,D(U)=D(V)=1,Cov(U,V)=-1/2。
(1),∵Cov(U,V)=E(UV)-E(U)*E(V)=E(UV),∴E(UV)=-1/2。
(2),由题设条件,可知U、V的密度函数【即X1、X2的边缘分布】亦服从正态分布。其密度函数分别为f(u)=Ae^(-u²/2),u∈R;f(v)=Ae^(-v²/2),v∈R。
又,根据正态分布的性质,有U+V~N(μ,δ²),其中μ=E(U)+E(V)=0,δ²=D(U)+D(V)+2Cov(U,V)=1,∴U+V~N(0,1)。
按照卡方分布【X²(n)】的定义,可知Z=(U+V)²~X²(1)。故,其概率密度f(z)=[1/√(2πz)]e^(-z/2),z>0、f(z)=0,z为其它。
(3),由题设条件,U、V的相关系数ρ=ρUV=-1/2。而,(U,V)的联合概率密度f(u,v)=[1/(π√3)]e^[(-2/3)(u²+uv+v²)]。
∴f(V丨U)(v丨u)=f(u,v)/f(u)=[(√2)/√(3π)]e^[-(u+2v)²/6],u∈R、v∈R。
供参考。
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