设a是正交矩阵,证a的特征值只能是1或-1

如题所述

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第1个回答 2016-01-05

反例：
a=

cosθ -sinθ
sinθ cosθ
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证明正交实矩阵A的特征值为1或-1.答：证:设A是正交矩阵,λ是A的特征值,α是A的属于λ的特征向量则 A^TA = E (E单位矩阵),Aα=λα,α≠0 考虑向量λα与λα的内积.一方面,(λα,λα)=λ^2(α,α).另一方面,(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα = α^Tα = (α,α).所以有 λ...

证明:如果正交矩阵有实特征值,则其特征值只能是1或-1.答：【答案】：设A的实特征值为λ，A的属于λ的特征向量为考，则Aξ=λξ，且ξTξ≠0．∵A为正交矩阵，ATA=E．由(Aξ)T(Aξ)=(λξ)T(λξ)，即ξT(ATA)ξ=λ2ξTξ，ξTξ=λ2ξT，∵λ2=1，λ∈R，即λ=±1．故正交矩阵的实特征值只能是-1或1．

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为什么正交矩阵的特征值是1或-1?答：设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量。即有Ax=λx，且x≠0。两边取转置，得x^TA^T=λx^T。所以x^TA^TAx=λ＾2x^Tx。因为A是正交矩阵，所以A^TA=E。所以x^Tx=λ＾2x^Tx。由x≠0知x^Tx是一个非零的数。故λ＾2=1。所以λ＝1或－1。正交矩阵的相关定理：1、...

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