设正项级数un收敛，证明（根号下un）/n收敛

Question

如题所述

Answer 1

证明：

√(Un)/n^p《(Un+1/n^(2p))/2

当P>1/2时，级数1/n^(2p)收敛，故级数（Un+1/n^(2p))/2收敛，级数√(Un)/n^p收敛

级数 ∑un 绝对收敛，有 un→0(n→∞)，故存在 N，使当 n>N 时，有 |un|<1/2

当 n>N时|un/(1+un)| <= |un|/(1-|un|) < 2|un|

据比较判别法，可知级数（根号下un）/n绝对收敛

扩展资料

证明收敛级数的方法：

函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。

例如∑1/n！收敛，因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

性质：

收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变。

两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。

在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。只需证明“在级数的前面部分去掉、加上有限项，不会改变级数的收敛性”，因为其他情形（即在级数中去掉、加上或改变有限项的情形）都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项，然后再加上有限项的结果。

Answer 2

设正项级数∑{n=1,∞}Un加括号后构成正项级数∑{k=1,∞}Vk （Vk为k个括号求和） Un位于第k个括号中，其中k=k(n) ∑{n=1,∞}Un的前n项部分和为Sn ∑{k=1,∞}Vk的前k项部分和为Ak ∵正项级数∑{k=1,∞}Vk收敛，∴部分和数列{Ak}有界，设Ak≤M 则Sn=U1+U2+...+Un≤V1+V2+...+Vk=Ak≤M，即数列{Sn}有界 由正项级数收敛的基本定理（正项级数部分和数列有界，则级数收敛）可知 级数∑{n=1,∞}Un收敛本回答被网友采纳