证明:
√(Un)/n^p《(Un+1/n^(2p))/2
当P>1/2时,级数1/n^(2p)收敛,故级数(Un+1/n^(2p))/2收敛,级数√(Un)/n^p收敛
级数 ∑un 绝对收敛,有 un→0(n→∞),故存在 N,使当 n>N 时,有 |un|<1/2
当 n>N时|un/(1+un)| <= |un|/(1-|un|) < 2|un|
据比较判别法,可知级数(根号下un)/n绝对收敛
证明收敛级数的方法:
函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数,称之为幂级数。它的结构简单 ,收敛域是一个以为中心的区间(不一定包括端点),并且在一定范围内具有类似多项式的性质,在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2],幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1,3],而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。
如果每一un≥0(或un≤0),则称∑un为正(或负)项级数,正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。
例如∑1/n!收敛,因为:Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。
性质:
收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类,其性质与有限和(有限项相加)相比有本质的差别,例如交换律和结合律对它不一定成立。收敛级数的基本性质主要有:级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不变。
两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数;在级数前面加上有限项,不会改变级数的收敛性;原级数收敛,对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛;级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。
在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性。只需证明“在级数的前面部分去掉、加上有限项,不会改变级数的收敛性”,因为其他情形(即在级数中去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项,然后再加上有限项的结果。