用空间向量求出二面角后如何确定该角是钝角还是锐角

Question

最好给出比较有说服力的证明cos取正还是负,本人高考要用
不给证明据说会扣4分!
谢谢,楼下的方法是不错.问题在于当我求出一个法向量时,虽然可以很显然的看出两个法向量相对于两个面的方向是否一致,但是怎么说明?仅仅画张图凭借直观感受?那样估计还要扣掉1-2分,我们本来也不扣的,可惜06年突然说要扣分,今年还不知道,二楼的说的不错,不过我担心只是用示意图看出来,没有给严格的证明的会被扣分.其实教育部门他们是不主张用向量法的.所以我必须说的很有说服力

Answer 1

用向量法求二面角大小,主要是用公式

cosA=a*b/(|a|*|b|)

a,b要分别取这构成二面角的两个平面的法向量,可能不止一个,取最简单的那个,然后两分别算出它们的模,即|a|,|b|,再代入公式即可

算出cosA的值后,再根据前面的判断

若是锐角,而算得cosA>0,则所求角为A

若是锐角,而算得cosA<0,则所求角为(派-A)

若是钝角,而算得cosA>0,则所求角为(派-A)

若是钝角,而算得cosA<0,则所求角为A

注:A就是所选的两个法向量的夹角。

扩展资料

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面．

3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．

4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 ．

参考资料来源：百度百科-空间向量

Answer 2

　　用向量求出二面角的余弦值，如果cos x为负值的话,x为钝角,正值就锐角,0就直角。
　　名词解释：

　　二面角
　　平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面).
　　求法
　　作二面角的平面角的常用方法有六种：
　　1.定义法 ：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。
　　2.垂面法 ：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角
　　3.射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。
　　4.三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。
　　5.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。
　　6.转化法
　　其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
　　二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
　　由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得
　　也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α
　　求二面角大小的基本步骤
　　（1）作出二面角的平面角：
　　A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；
　　B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；
　　C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；
　　D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。
　　（2）证明该角为平面角；
　　（3）归纳到三角形求角。
　　另外，也可以利用空间向量求出。
　　利用空间向量：（设二面角平面角为A）
　　1）先建立直角坐标系，求出各点坐标；
　　2）设面S1的法向量为N(X1，Y1，Z1)，面S2法向量为M(X2，Y2，Z2)；
　　3）在S1内找两条线L1，L2，让N×L1=0，N×L2=0求出N的坐标，M也是如此求出；
　　4）然后利用cosA=N×M/|N|×|M|即可求出A的值（注：由图观察二面角是锐角还是钝角，而且看求出的cosA是正值还是负值。若二面角是锐角，则cosA的值应为正，反之则然。）

Answer 3

有一种很好用的方法，但是没有画图的工具，讲起来可能比较费力。不知道我能不能讲清楚。

把二面角的两个面画出来，两个面的法向量也画出来。相对于二面角的两个面，如果两个法向量相对于两个面的方向是一样的，那么二面角是用向量法求出的角的补角，也就是钝角。如果两个法向量相对于两个面方向不一样，则是锐角。

这个问题，我们老师讲这种判断方法的时候也提过怎么说明，但是还是要画图……而且，我们是可以直接把这个方法当结论用的。不会扣分……

那我建议你还是咨询一下你们的数学老师吧，各个地区的不同，老师在这方面应该比较有权威吧。本回答被提问者采纳

Answer 4

直接从图上看是最好的方法，如果你只限于高考而言，总图一般均可看出。当然你在设法向量的时候就应注意到方向，若两个法向量均垂直平面向上，则是你所求角的补角，若两法向量方向相反，则即为所求角。