连续函数在闭区间上的最大最小值定理证明是什么？

Question

如题所述

Answer 1

1. 当函数f(x)在闭区间[a, b]上连续时，必定存在c和d两个点，分别属于[a, b]，使得对于区间内的任意x，都有f(c)≤f(x)≤f(d)成立。
2. 在数学分析中，极值定理指出，如果实函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么它必定存在至少一个最大值和最小值。这意味着在[a, b]区间内，至少存在两个点x1和x2，使得对于任意的x，f(x)都被限制在这两个值之间。
3. 类似地，对于在闭区间[a, b]上的二元连续函数，也有类似的一元函数最值定理。
4. 根据有界性定理，我们可以得出在闭区间[a, b]上的连续函数f是有界的，即存在实数m和M，使得对于所有的x，都有m≤f(x)≤M。
5. 这表明极值定理不仅强化了有界性定理，还指出函数的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。
6. 证明极值定理的基本步骤包括：首先证明函数是有界的；其次构造一个序列，使其极限小于或等于f(x)的最小上界；接着证明存在一个子序列，它在定义域内收敛；然后利用连续性证明子序列的极限等于最小上界；最后，同理证明最大下界。