如图1所示,求点P到直线a的距离。
在直线a上任取一点A,连结PA;在直线a上另取一点B(不同于点A),把线段AB改写成向量AB,过点P作直线AB的垂线,与AB相交于一点N,则PN=h即为所求的距离(如图2),在实际运用中,并不需要作出垂线段PN,只需要像下面那样求出它的长度即可。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底,零向量的表示唯一。
要求点到直线的距离,可以使用空间向量的方法进行计算。以下是一种常用的计算方法:
确定直线上的两个点:假设直线上有两个已知点A和B。
计算直线的方向向量:通过将点A和点B的坐标相减,得到直线的方向向量AB。
确定直线上的一个参考点及其位置向量:可以选择其中一个点作为参考点C,并计算出该点的位置向量AC。
计算垂直于直线的单位法向量N:将直线的方向向量AB进行归一化(即除以它的长度),得到单位方向向量n。然后,将n沿着与AC垂直的方向延伸,得到单位法向量N。
计算点P到直线的距离:使用点P的位置向量AP与单位法向量N的点乘运算,即将它们的数量积除以N的长度,得到点P到直线的距离d。
d = |AP · N| / |N|
这样,就可以得到点到直线的距离。需要注意的是,在实际计算中,点、直线和向量的坐标表示应根据具体情况进行调整和转换。