已知函数 （ 为常数）的图像与 轴交于点 ，曲线 在点 处的切线斜率为-1.（1）求 的值及函数 的极
已知函数 （ 为常数）的图像与 轴交于点 ，曲线 在点 处的切线斜率为-1.（1）求 的值及函数 的极值；（2）证明：当 时， ；（3）证明：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 ，恒有 .
（1） ，极小值为 无极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析． |
| 试题分析： 解题思路：（1）利用导数的几何意义求  ，再进一步求极值；（2）构造函数 ，即证 ；（3）结合（2）的结论，对  进行分类讨论.规律总结：这是一道典型的导函数问题，综合性较强，要求我们要有牢固的基础知识（包括函数的性质、常见解题方法、数形结合等）. 试题解析：解法一：（1）由  ，得 .又 ,得 .所以 .令 ,得 .当 时,  单调递减;当 时,  单调递增.所以当 时,  取得极小值,且极小值为 无极大值.（2）令 ,则 .由（1）得 ,故 在R上单调递增,又 ,因此,当 时,  ,即 .（3）①若  ,则 .又由（2）知，当 时, .所以当 时,  .取 ,当 时，恒有 .②若  ,令 ,要使不等式 成立
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