如何判断四点共圆

Question

如题所述

Answer 1

如何判断四点共圆如下：

1、对角互补法：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆；特殊情形——若一个四边形有两个对角都为90°，那么该四边形四个顶点共圆。

推论：同斜边的直角三角形四点共圆。

2、同侧共底边三角形顶角相等法：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆(同弧所对圆周角相等）。

也可表述为：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

3、中垂线法：连成的四边形三边中垂线交于一点，则这四点共圆。

证明：ABCD是连成的四边形 其三边ABCD的DA的中垂线交于点O。

因为OE是AB的中垂线 所以OA=OB（线段中垂线上任何一点到线段两个端点距离相等）。

同理 有OA=OD，OD=OC。

即OA=OB=OC=OD（四个点到一定点的距离相等）。

所以 ABCD四点共圆,圆心即连成的四边形各边中垂线的交点。

4、相交弦定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。

5、割线定理的逆定理：或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆。

拓展知识：

若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：

1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

2、圆内接四边形的对角互补；

3、圆内接四边形的外角等于内对角。