函数单调性和奇偶性性质的证明

Question

如题所述

Answer 1

在(-∞,0)上是减函数：
证明：
对任意的,x1<x2<0
(-x1)>(-x2)>0
因为f(x)在(0,+∞)上是减函数，所以
f(-x1)<f(-x2)
又因为f(x)是奇函数，所以，
f(-x1)= - f(x1)
f(-x2)= - f(x2)
-f(x1)<-f(x2)
f(x1)>f(x2)
由单调减函数定义知；函数f(x)在(-∞,0)上是减函数

Answer 2

这是考定义呢。

所谓奇函数，就是在定义域上，f(x)=-f(-x)恒成立的函数。

任取两点x2>x1>0，∵f(x)在（0，正无穷）单减，∴f(x2)<f(x1).

∵f(x)是奇函数，∴f(-x2)>f(-x1).

显然-x2<-x1<0。

∴f(x)在（负无穷，0）上单调递减。