矩阵的秩是什么？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它反映了矩阵的内在性质。矩阵的秩有许多重要的运算性质，以下是其中的一些：
1. 秩的加法性质：如果A和B是两个矩阵，那么r(A+B)≤min{r(A),r(B)}。这意味着两个矩阵相加后得到的新矩阵的秩不会超过原来两个矩阵中秩较小的那个。
2. 秩的乘法性质：如果A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，那么r(AB)≤min{r(A),r(B)}。这意味着两个矩阵相乘后得到的新矩阵的秩不会超过原来两个矩阵中秩较小的那个。
3. 秩的分配性质：如果A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，C是一个s×t矩阵，那么r(ABC)≤min{r(A),r(BC)}。这意味着三个矩阵相乘后得到的新矩阵的秩不会超过原来三个矩阵中秩较小的那个。
4. 秩的等价性质：如果A和B是两个同型矩阵，且存在可逆矩阵P使得PA=B，那么r(A)=r(B)。这意味着一个矩阵可以通过左乘或右乘一个可逆矩阵来得到另一个与原矩阵等价的矩阵，这两个矩阵的秩是相等的。
5. 秩的零空间性质：对于任意一个m×n矩阵A，其零空间（即所有使Ax=0成立的向量x构成的集合）的维数等于n减去A的秩。这意味着一个矩阵的零空间的大小与其非零行的数量有关。