这道题怎么做？

Question

如图，已知在正方形ABCD与正方形AEFG中，连接CF，取CF 的中点P，连接PG、PB、BG得△PGB。
求证：△PGB是等腰三角形。

Answer 1

连接PE，做PQ//BC，由于P是CF的中点，所以Q点事BE的中点，又正方形ABCD，CB⊥AB，所以PQ⊥BE，而Q为BE中点，所以PB=PE 在△PGA与△PEA全等，即PG=PE 所以 PG=PE=PB，因此△PGB是以PG、PB为等腰的等腰三角形

Answer 2

做PM⊥AD于M，PN⊥AB于N

∵AD=AB，AG=AE(FG=EF，BC=DC)

∴AD-AG=AB-AE    即AG=BE  ，AMPN是矩形，那么∠MPN=90°

∵∠FGA=∠D=∠PMA=90°，∠FEA=∠PNA=∠CBA=90°

∴FG∥PM∥DC，EF∥PN∥BC

∵P是CF中点

∴PM是梯形FGDC中位线，PN是梯形FEBC中位线

MG=1/2DG，BN=1/2BE

∴PM=1/2(DC+FG)，PN=1/2(BC+EF)

那么PM=PN，MG=BN

∴RT△PMG≌RT△PNB(SAS)

∴PG=PB

∠MPG=∠BPN

∵∠MPN=∠MPG+∠GPN=90°

∴∠BPN+∠MPG=∠GPB=90°

∴△PGB是等腰直角三角形

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Answer 3

过P做CD平行线交于GD，设为Q点
△CDP全等于△CBP，（边角边，CP公共边，CD=CB，两个45度角。）
所以，DP=BP;
因为，P为CF中点，PQ平行CD
所以Q为CD中点，且PQ是DG垂直平分线，
所以DP=GP，又因为DP=BP,
所以GP=PB,
所以△PGB是等腰三角形。

Answer 4

以A为坐标原点，AB为x轴，AD为Y轴
令AB=1，AE=a
所以F(a,a) c(1,1)所以P（（a+1）/2,（a+1)/2），B(1,0) G(0,1)
PB=PG（两点之间的距离公式）