在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是______

Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是______．

Answer 1

设出曲线上的一个切点为（x，y），
由y=alnx，得y′=

a

x

，
∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，
∴y′=

a

x

=1，
∴x=a，
∴切点为（a，alna），
代入y=x+b，可得b=alna-a，
∴b′=lna=0，可得a=1，
∴函数b=alna-a在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴a=1时，b取得最小值-1．
故答案为：-1．