系列轮廓线重构三维曲面

Question

如题所述

Answer 1

5.4.2.1 概述

在医学领域，X射线断层扫描(CT)与核磁共振(MRI)是广泛用于探查人体器官三维形态的技术。然而，CT与MRI并不能直接获得器官的三维形态，而是通过对人体器官进行扫描，得到若干断面图像，并在每个断面上勾画出器官的轮廓，再由系列断面上的轮廓重构器官的三维形态。这种由系列断面上的轮廓线重构三维形体的方法也可以应用于多值地质界面的模拟。在自然界中，倒转褶皱体的层理面、侵入岩体的表面(如岩脉与矿脉体的表面)一般为多值地质界面。地质工程师常用地质剖面来反映这类地质界面的几何形态。在每张地质剖面上，地质工程师根据钻孔、物探等数据勾画出地质界面与剖面交线，即地质迹线。如果将相邻剖面上属于相同地质界面的迹线按照一定规则用三角曲面连接起来，就可以实现由二维轮廓线重构三维地质界面。

不同几何形态的多值地质界面在平行剖面上的轮廓线也有不同的形态:常见倒转褶皱体的层理面与一组平行剖面之间的交线为一组非闭合的轮廓线，而且，对应某一层理面，每个剖面上的轮廓线均为一条(图5.14(a));一些侵入岩体的几何形态近似为不规则球状或块状，如果用一组平行剖面切割岩体，则得到一组闭合单轮廓线(图5.14(b));大多数侵入岩脉与矿脉体的几何形态往往非常复杂，在每个剖面上可能有若干个闭合轮廓线与其表面相对应(图5.14(c))。根据剖面上轮廓线的数量，可以将二维轮廓线重构三维地质界面的问题分成两类:单轮廓线重构三维地质界面与多轮廓线重构三维地质界面。下面将介绍这两类问题的解决方法。

图5.14 系列轮廓线重构问题示意

5.4.2.2 系列单轮廓线重构三维地质界面

系列单轮廓线重构三维地质界面问题可以表述为:用一组平行剖面切割待模拟地质界面，得到一组平面轮廓线，每个剖面上只有一条闭合或非闭合的轮廓线，而且，每条轮廓线均为由若干结点顺序连接而成的简单弧;按照某种规则，将所有相邻剖面上的轮廓线用三角面片连接起来形成三角曲面，并保证三角曲面既能够尽可能反映界面的几何形态，又满足二维简单复形的拓扑条件。

具体地说，由系列单轮廓线重构三角曲面应满足以下条件:

(1)重构后的界面应尽可能反映实际界面的几何形态;

(2)如果两个三角形面片相交，其交集只能是一个共同的顶点或者一条共同的边;

(3)任意一条边界上的轮廓线线段一定是一个三角形的一条边，任意一条非边界上的轮廓线线段一定是两个三角形的共同边;

(4)任意一条位于边界上的连接相邻轮廓线结点的线段一定是一个三角形的边，任意一条不位于边界上的连接相邻轮廓线结点的线段一定是两个三角形的共同边。

显然，满足上述要求的相邻轮廓线连接方式可能有很多种，选择一种合理的连接方式是算法的关键。下面简单介绍几种方法。

5.4.2.2.1 全局最优目标函数法

针对两条相邻轮廓线的连接问题，Keppel(1975)与Fuchs等(1977)提出了全局最优搜索方法进行合理连接方式的选择。该方法的基本原理是:先设定特定的目标函数，然后针对所有可接受的连接方式，计算目标函数值，再选择最优解所对应的连接方式作为最佳连接方式。Keppel(1975)采用的优化目标是连接相邻两平行轮廓线的三角曲面所围的体积达到最大。Fuchs等(1977)认为最优化的连接方式是使连接两相邻轮廓线的三角曲面的表面积达到最小。最优目标函数法需要进行全局搜索，因而计算效率不高。

5.4.2.2.2 最短对角线法(Christiansen等，1978;唐泽圣等，1999)

最短对角线法分两个步骤:①寻找最短连线作为起始边，如图5.15所示，设P={p₁，p₂，…，p_n}与Q={q₁，q₂，…，q_m}为两条相邻轮廓线， 是两轮廓线上距离最近的两个点的连线，因而选择 为两条相邻轮廓线的起始边开始重构三角曲面;②以 为三角形的一条边，在 的某一侧有 与 可以作为三角形的另一条边，如果 ，则选择 成三角形，然后以 为基准边，重复上述过程直到完成曲面重构。

图5.15 最小对角线法示意

如果相邻轮廓线的大小与形状类似，且对中情况较好时，采用最小对角线法可以获得较好的效果。但是，当中心点的平面位置相差较远时，可能会导致错误的连接。

5.4.2.2.3 相邻轮廓线同步前进法(Ganapathy等，1982)

如图5.16所示，设P={p₁，p₂，…，p_n}与Q={q₁，q₂，…，q_m}为两条相邻轮廓线，轮廓线总长度分别为C_P与C_Q，P上第i条线段的长度与C_P的比值为^p_i，Q上第j条线段的长度与C_Q的比值为^q_j。假设，p₁与q₁之间的连线是两轮廓线的起始连线， 是从p₁到p_i+1的轮廓线线段长度和与C_P的比值， 是从q₁到q_j+1的轮廓线线段长度和与C_Q的比值。相邻轮廓线同步前进法的基本思想是:在连接两轮廓线上的结点时，如果p_i为P上的当前结点，q_j为Q上的当前结点，应尽量保证Φ^p_i-1与Φ^q_j-1接近。

图5.16 相邻轮廓线同步前进法示意

如果p_i与q_j分别为当前结点 为已连接的当前连线，在 的某一侧有 或 可以作为下一条连线，按照同步前进法，如果:Φ^p_i-1+^p_i＜Φ^q_j-1+^q_j，则选择 为下一条连线，否则选 为下一条连线。

5.4.2.2.4 相邻轮廓线分段同步前进法

对于一些特定的模拟对象，如果在几何运算与比较的同时增加特征分析，可以很大程度地提高模拟效果。例如，褶皱体的层理面往往存在非常明显的特征要素，如脊线、转折端轴线等(图5.17)，如果能充分利用这些特征要素就可以合理模拟褶皱层理面，否则就会使模拟的结果偏离地质实际。

图5.17 褶皱的特征要素

利用这些特征要素，可以将轮廓线划分成若干弧段(图5.18)，保证相邻轮廓线上每一个弧段是一一对应的，然后对每一个弧段按照相邻轮廓线同步前进法进行连线。显然，这种方法只适合于类似褶皱层理面的具有明显、有规律的特征要素的地质界面的模拟，而且，相邻轮廓线的几何形状是相似的，而不适用于任意多值界面的模拟。

图5.18 相邻轮廓线分段同步前进法示意

5.4.2.3 系列多轮廓线重构三维地质界面

侵入岩脉与矿脉体的几何形态往往非常复杂，存在一个剖面上有多条轮廓线的情况。相邻剖面上轮廓线的对应关系包括:一对一与一对多，如图5.19所示，图(a)与图(b)是两个相邻平行剖面，图(a)中的闭合轮廓线A、B与图(b)中的E相对应，而图(a)中的D与图(b)中F相对应。一对一的轮廓线可以按上节中的单轮廓线连接方法进行表面重构。一对多轮廓线重构问题，也就是分支问题，可以通过某种方法先将其转化成多个一对一问题。将一对多问题转化成一对一问题的方法主要有两类:①分解轮廓线方法;②在相邻轮廓线之间插入中间轮廓线方法。

图5.19 多轮廓线对应关系示意

5.4.2.3.1 分解轮廓线方法(Shinagawa等，1991)

如图5.19(a)中的闭合轮廓线A、B与(b)中的E相对应，我们可以利用添加辅助线的方法将E分成两部分E₁、E₂分别与A、B相对应，然后利用单轮廓线重构方法在E₁与A、E₂与B之间连接成三角曲面。

5.4.2.3.2 插入中间轮廓线方法(Ekoule等，1991;唐泽圣等，1999)

插入中间轮廓线方法的基本思路是:在两平行剖面之间插入中间剖面，并在中间剖面上设置过渡轮廓线，保证过渡轮廓线能在两侧分别与原相邻剖面轮廓线合理连接。如图5.20所示，(a)与(c)是两个相邻平行剖面，图(a)中轮廓线A与图(c)中轮廓线B、C、D、E相对应。为了将A与B、C、D、E连接起来，可以在两平行剖面之间插入中间剖面(图5.20(b))，中间剖面上的轮廓线A'有如下特点:①轮廓线为闭合单轮廓线;②轮廓线A'所围区域被明确划分成B'、C'、D'、E'、F'几个区域，其中B'、C'、D'、E'分别与B、C、D、E相对应。这样，在进行表面重构时，可以将A与中间剖面上的闭合单轮廓线A'相连，然后将中间剖面上B'、C'、D'、E'与B、C、D、E对应相连，再将F'所围区域剖分成三角形，从而实现一对多的连接。

合理构建中间轮廓线是该方法的关键。在设置中间轮廓线时，应尽量保证所模拟的曲面在中间剖面处平滑过渡，而不出现明显的突变。因此，中间轮廓线的形状应尽量与两相邻剖面中的多轮廓线的组合几何形态接近。Ekoule等(1991)建议的中间轮廓线构造过程如下:

(1)将多轮廓线复制到中间剖面上;

(2)用一个闭合环将中间剖面上的每个闭合轮廓的中心连接起来(如图5.20(b)中的虚线环L)，并保证环L与各闭合轮廓有两个不同的交点;

(3)将L所围区域与所有闭合轮廓所围区域合并，得到一个连同的闭合区域，该闭合区域的边界即为待求的中间闭合轮廓线A'。