球已知两个角平分线相等，求证它是等腰三角形的方法？

Question

如题所述

Answer 1

分析：等边对等角，又因为角平分线为两倍，所以两个角相等，又运用等角对等边，
所以两边相等，三角形为等腰三角形。
做三角形ABC
，再作对角线BD和CF
，BD=CF，接着作辅助线：平移BD至FE,E在CB
延长线上，
这样在平行四边形BDFE中BD=FE，所以EF=FC，所以角FEC=角FCE，即角DBC=角FCB，所以
△ABC≌△ACB
所以为等腰三角形
设三角形为ABC，CD、BE分别是角平分线，CD=BE，证明：ABC是等腰三角形？
证明：
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BG=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC